Álgebra Básica

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Álgebra Básica
Conjuntos Numéricos
Prof. Cícero Thiago
1 Álgebra Básica
1.1 Produtos notáveis e Fatoração
1. (a + b )2 = a 2+ 2ab + b 2
2. (a − b )2 = a 2− 2ab + b 2
3. (a + b )3 = a 3+ 3a 2b + 3ab 2+ b 3
4. (a − b )3 = a 3− 3a 2b + 3ab 2− b 3
5. (a + b + c )2 = a 2+ b 2+ c 2+ 2ab + 2a c + 2b c
6. x y + x z = x (y + z )
7. a 2− b 2 = (a + b )(a − b )
8. a 3+ b 3 = (a + b )(a 2−ab + b 2)
9. a 3− b 3 = (a − b )(a 2+ab + b 2)
Exemplo 1. Fatore a expressão
ab (a + b )− b c (b + c ) +a c (a − c ).
Solução. Temos que a + b = (b + c ) + (a − c ),
então
ab (a + b )− b c (b + c ) +a c (a − c )
= ab ((b + c ) + (a − c ))− b c (b + c ) +a c (a − c )
= ab (b + c )+ab (a − c )−b c (b + c )+a c (a − c )
= ab (b + c )−b c (b + c )+ab (a − c )+a c (a − c )
(b + c )(ab − b c ) + (a − c )(ab +a c )
(b + c )b (a − c ) + (a − c )a (b + c )
(b + c )(a − c )(b +a ).
Exemplo 2. Determine o valor de
1
(a − b )(a − c ) +
1
(b − c )(b −a ) +
1
(c −a )(c − b ) ,
com a 6= b , b 6= c e c 6= a .
Solução. Vamos deixar as frações com o
mesmo denominador
1
(a − b )(a − c ) +
1
(b − c )(b −a ) +
1
(c −a )(c − b )
=
b − c
(a − b )(a − c )(b − c ) +
c −a
(a − b )(a − c )(b − c )
+
a − b
(a − b )(a − c )(b − c ) = 0.
Exemplo 3. Determine o valor da expressão
(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1) . . . (22
10
+ 1) + 1.
Solução. Sabemos que (a − b )(a + b ) = a 2− b 2
então
(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1) . . . (22
10
+ 1) + 1
= (2− 1)(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1) . . . (2210 + 1) + 1
= (22− 1)(22+ 1)(24+ 1) . . . (2210 + 1) + 1
= (24− 1)(24+ 1) . . .(2210 + 1) + 1
. . .= (22
10 − 1)(2210 + 1) + 1
= ((22
10
)2− 1) + 1= 22·210 = 2211 = 22048.
Exemplo 4. Se x +
1
x
= 3, determine o valor de
(a) x 3+
1
x 3
.
(b) x 4+
1
x 4
.
Solução. (a)
x 3+
1
x 3
=

x +
1
x
‹
x 2+
1
x 2
− 1
‹
=
3
�
x +
1
x
‹2
− 3
�
= 3(32− 3) = 18.
1
(b)
x 4+
1
x 4
=
�
(x 2)2+ 2+

1
x 2
‹2�
−2=

x 2+
1
x 2
‹2
−2
=
�
x +
1
x
‹2
− 2
�2
− 2= (32− 2)2− 2= 47.
Exercícios propostos
1. Sejam x , y e z números reais. Prove que
(a) x 2+ y 2 = (x + y )2− 2x y = (x − y )2+ 2x y .
(b) (x + y )2+ (x − y )2 = 2(x 2+ y 2).
(c) (x + y )2− (x − y )2 = 4x y .
(d) x 2+ y 2+ x y =
x 2+ y 2+ (x − y )2
2
.
(e) x 2+ y 2− x y = x
2+ y 2+ (x − y )2
2
.
(f) x 2 + y 2 + z 2 + x y + y z + z x =
(x + y )2+ (y + z )2+ (z + x )2
2
.
(g) x 2 + y 2 + z 2 − x y − y z − z x =
(x − y )2+ (y − z )2+ (z − x )2
2
.
2. Se a , b , c e d são, em alguma ordem, 1, 2, 3 e
4. Qual é o maior valor possível de
ab + b c + c d +da ?
3. A soma dos quadrados de três inteiros conse-
cutivos é 302. Qual é a soma desses números?
4. Seja a = x +
1
x
, b = y +
1
y
e c = x y +
1
x y
. Prove
que o valor da expressão a 2 + b 2 + c 2 − ab c
independe de x e y .
5. Sejam a e b números reais distintos tais que
a 2 = 6b + 5ab e b 2 = 6a + 5ab .
(a) Determine o valor de a + b .
(b) Determine o valor de ab .
6. Ache a soma dos inteiros positivos a , b , c e d
tais que ab + c d = 34 e a c − bd = 19.
7. Fatore a 4+ 4b 4.
8. Ache, com justificativa, todos os números
inteiros positivos a , b e p , com p primo, tais
que a 4+ 4b 4 = p .
9. Calcule o valor de
N =
(104+ 324)(224 + 324)(344+ 324)(464+ 324)(584 + 324)
(44+ 324)(164+ 324)(284+ 324)(404 + 324)(524+ 324)
.
10. Prove que
K =
�
24+ 14
�
·
�
44+ 14
�
·
�
64 + 14
�
. . .
�
(2n )4+ 14
�
�
14 + 14
�
·
�
34+ 14
�
·
�
54 + 14
�
. . .
�
(2n − 1)4+ 14
�
pode ser escrito como a soma dos quadrados
de inteiros consecutivos.
11. Seja a 6= 0 um número, com

a +
1
a
‹2
= 3.
Calcule a 3+
1
a 3
.
12. Qual é o maior inteiro positivo n tal que
(n + 10)|(n3+ 10)?
13. Fatore a 3+ b 3+ c 3− 3ab c .
14. Mostrar que se a + b + c = 0 então
a 3+ b 3+ c 3 = 3ab c .
15. Determine todososparesde inteiros (m ,n ) tais
quem ·n ≥ 0 e
m3+n3+ 99mn = 333.
16. Se a , b , c são os comprimentos dos lados
deum triângulo, provequea 3+b 3+3ab c > c 3.
17. Fatore (a + b + c )3−a 3− b 3− c 3.
18. Considere os números reais a e b tais que
(a + b )(a +1)(b +1) = 2 e a 3+ b 3 = 1. Encontre
o valor de a + b .
19. Ache todas as soluções reais do sistema


1
x
+
1
y
= 9�
1
3px +
1
3
p
y
�
1+
1
3px
‹�
1+
1
3
p
y
�
= 18
2
20. Sejam x e y números reais tais que
x 2 + x y + y 2 = 4, x 4 + x 2y 2 + y 4 = 8. De-
termine o valor de x 6+ x 3y 3+ y 6.
21. Sejam a ,b e c números positivos tais que
a 2+ b 2−ab = c 2. Prove que (a − c )(b − c )≤ 0.
22. Determine x + y , onde x e y são números
reais, sabendo que x 3+ y 3 = 9 e x y 2+ x 2y = 6.
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5
23. Se x e y são números reais tais que
x 3 + y 3 = 5(x + y ), x 2 + y 2 = 4 e x + y 6= 0,
determine o valor de x y .
(a) 4 (b) 3 (c) 1 (d) 0 (e) −1
24. Sejam x , y e z números reais não nu-
los tais que x + y + z = 0. O valor de
(x 2y 2z 2) ·

1
x 3y 3
+
1
x 3z 3
+
1
y 3z 3
‹
é
(a) 0. (b) 1. (c) 2. (d) 3. (e) 4.
Respostas
2. 25 3. 30 ou -30 4. 4 5. a) -6 b) 6 6. 16
7.
�
(a + b )2+ b 2
� �
(a − b )2+ b 2
�
8. a = 1, b =
1 e p = 5 9. 373 11. 0 12. 980 13.
1
2
(a +
b + c )
�
(a − b )2+ (a − c )2+ (b − c )2
�
15. (m ,n ) =
(−33,−33), (0,33), (1,32), . . ., (33,0) 17. 3(a + b )(a +
c )(b + c ) 18. 1 19.

1,
1
8
‹
,

1
8
,1
‹
20. 19 22. c 23. e
24. d
1.2 Radicais I
1.2.1 Propriedades
Sejam a e b números reais positivos, então, para
cada inteiro positivom e n , temos:
1. n
p
am = ( n
p
a )m = a
m
n
2.
np
ab = n
p
a · n
p
b
3. m
p
n
p
a = mn
p
a
4. n
s
a
b
=
n
p
a
np
b
5.
p
a 2 = |a |.
Exemplo 5. Se x > 1, prove que
p
x > 3
p
x .
Solução. Temos que
x > 1⇔ x 3 > x 2⇔ x > 3
p
x 2⇔px >
q
3
p
x 2⇔
p
x >
��
x 2
� 1
3
� 1
2 ⇔ (x 2) 13 · 12 = (x 2) 16 = x 13 = 3px .
Exemplo 6. Sejam a e b números reais positivos
tais que a b = b a e b = 9a . Determine o valor de a .
Solução. Temos que
a b = b a ⇔ a = b ab .
Como b = 9a , então
a = b
a
b = (9a )
a
9a = (9a )
1
9 ⇔ a 9 = 9a ⇔
a 8 = 9⇔ a = 9 18 (32) 18 = 3 28 = 3 14 = 4
p
3.
Exemplo 7. O númeroÆ
104
p
6+ 468
p
10+ 144
p
15+ 2006
pode ser escrito na forma a
p
2 + b
p
3 + c
p
5, em
que a , b e c são inteiros positivos. Determine o
valor de ab c .
Solução. Temos queÆ
104
p
6+ 468
p
10+ 144
p
15+ 2006=
a
p
2+ b
p
3+ c
p
5.
Elevando ambos os membros ao quadrado temos
que
(a
p
2+ b
p
3+ c
p
5)2 =
(a
p
2+ b
p
3+ c
p
5)(a
p
2+ b
p
3+ c
p
5) =
(a
p
2+ b
p
3+ c
p
5)(a
p
2)+
(a
p
2+b
p
3+c
p
5)(b
p
3)+(a
p
2+b
p
3+c
p
5)(c
p
5) =
2a 2+ab
p
6+a c
p
10+ab
p
6+ 3b 2+ b c
p
15+
a c
p
10+ b c
p
15+ 5c 2 =
2a 2+ 3b 2+ 5c 2+ 2ab
p
6+ 2a c
p
10+ 2b c
p
15=
2006+ 104
p
6+ 468
p
10+ 144
p
15.
Então, 2ab = 104⇔ ab = 52, 2a c = 468⇔ a c =
234 e 2b c = 144⇔ b c = 72. Dessa forma,
(ab )(a c )(b c )= (ab c )2 = (52)(234)(72) = 26·34·132⇔
ab c = 936.
3
Exercícios propostos
1. Se
h (a ,b , c ) =
ab c
a + b + c
,
determine h (3
p
5,6
p
5,9
p
5).
2. Quantos dos números abaixo são maiores que
10?
3
p
11, 4
p
7, 5
p
5, 6
p
3, 7
p
2
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5
3.
p
1212 é igual a:
(a) 66 (b) 122
p
3 (c) 212 · 36 (d) 612 (e)p12
p
12
4. Se N > 1, qual o valor de
3
q
N
3
p
N
3p
N ?
(a)N
1
27 (b)N
1
9 (c)N
1
3 (d)N
13
27 (e)N
5. Simplificando a expressão
√√213 + 216
215, obte-
mos:
(a)
p
2 (b) 1,5 (c) 2,25 (d) 27 (e) 1
6. Qual o valor de
√√810+ 410
84+ 411
?
(a)
p
2 (b) 16 (c) 32 (d) 12
2
3 (e) 512,5
Respostas
1. 45 2. c 3. c 4. d 5. b 6. b
1.3 Radicais II
Teorema 1. Sejam a e b números reais positivos,
com
p
b < a , então
q
a ±
p
b =
√√a +pa 2− b
2
±
√√a −pa 2− b
2
.
Demonstração 1. Faça u = a +
p
b e v = a −
p
b .
Então,
q
a ±
p
b =
p
u =
p
u +
p
v
2
±
p
u −pv
2
=
√√ (pu +pv )2
4
±
√√ (pu −pv )2
4
=
√√ u+v
2 +
p
uv
2
±
√√ u+v
2 −
p
uv
2
=
√√√ a+pb+a−pb
2 +
p
a 2− b
2
±
√√√ a+pb+a−pb
2 −
p
a 2− b
2
q
a ±
p
b =
√√a +pa 2− b
2
±
√√a −pa 2− b
2
.
Exemplo 8. Determine o valor de
(
p
10+
p
11+
p
12) · (
p
10+
p
11−
p
12)·
(
p
10−
p
11+
p
12) · (
p
10−
p
11−
p
12).
Solução. Seja A = (
p
10+
p
11+
p
12) · (p10+p11−p
12) · (p10−p11+p12) · (p10−p11−p12), então
A = [(
p
10+
p
11)2− (
p
12)2][(
p
10−
p
11)2− (
p
12)2]
= (9+2
p
10 ·
p
11) ·(9−2
p
10 ·
p
11) = 81−440 =−359.
Exemplo 9. Determine o valor de
p =
1
2
p
1+
p
2
+
1
3
p
2+ 2
p
3
+. . .+
1
100
p
99+ 99
p
100
.
Solução. Para cada inteiro positivo n ,
1
(n + 1)
p
n +n
p
n + 1
=
1p
n (n + 1)(
p
n + 1+
p
n )
=
p
n + 1−pnp
n (n + 1)
=
1p
n
− 1p
n + 1
,
então
P =

1− 1p
2
‹
+

1p
2
− 1p
3
‹
+ . . .+

1p
99
− 1p
100
‹
= 1− 1p
100
= 1− 1
10
=
9
10
.
Exemplo 10. Determine o valor de
Æ
17+ 4
p
13−
Æ
17− 4
p
13.
Solução.
Æ
17+ 4
p
13−
Æ
17− 4
p
13
=
q
(
p
13+ 2)2−
q
(
p
13− 2)2
=
p
13+ 2− (
p
13− 2) = 4.
Exemplo 11. Dado que a parte inteira e a parte
fracionária de
p
37− 20p3 são x e y , respectiva-
mente, determine o valor de x + y +
4
y
.
4
Solução. Temos queÆ
37− 20
p
3= 5− 2
p
3= 1+ 2(2−
p
3)
então x = 1 e y = 2(2−p3). Assim,
x+y+
4
y
= 5−2
p
3+
2
(2−p3)
= 5−2
p
3+2(2+
p
3) = 9.
Exemplo 12. Determine o inteiro mais próximo de
N =
1p
17− 12p2
.
Solução.
N =
1p
17− 12p2
=
1Æ
(3−p8)2
=
1
3−p8 = 3+
p
8.
Temos que 5 = 3 +
p
4 < 3 +
p
8 < 3 +
p
9 = 6,
ou seja, 5 < 3 +
p
8 < 6. Além disso,
5,5 = 3 + 2,5 = 3 +
p
6,25 < 3 +
p
8. Portanto,
o inteiro mais próximo de N é o 6.
Exercícios propostos
1. Racionalize o denominador da fração
A =
1
3p2− 1
.
2. Calcule a soma
1p
1+
p
2
+
1p
2+
p
3
+ . . .+
1p
99+
p
100
.
3. Prove a desigualdade:
1p
1+
p
3
+
1p
5+
p
7
+. . .+
1p
9997+
p
9999
> 24.
4. Calcule a soma√√
1+
1
12
+
1
22
+
√√
1+
1
22
+
1
32
+ . . .
+
√√
1+
1
19982
+
1
19992
+
√√
1+
1
19992
+
1
20002
.
5. Para todo inteiro positivo n , seja
f (n ) =
4n +
p
4n2− 1p
2n + 1+
p
2n − 1
.
Calcule a soma f (1) + f (2) + . . .+ f (40).
6. Resolva a equação 3
p
x + 2+ 3
p
x + 3+ 3
p
x + 4= 0.
7. (a) Efetue o produto
(x − 1)(x + 1)(x 2+ 1)(x 4+ 1)(x 8+ 1)
(x 16+ 1)(x 32+ 1)(x 64+ 1)
(b) Racionalize a expressão
1
(
64p
2+ 1)(
32p
2+ 1)(
16p
2+ 1)(
8p
2+ 1)(
4p
2+ 1)(
p
2+ 1)
8. Se a = 3
p
4 +
3p
2 + 1, determine o valor de
3
a
+
3
a 2
+
1
a 3
.
9. Prove que
3
p
2+
p
5 +
3
p
2−p5 é um número
racional.
10. (IME) Mostre que o número
x =
3
√√√
3+
√√
9+
125
27
−
3
√√√
−3+
√√
9+
125
27
é racional.
11. (IME) Demonstre que
3
p
20+ 14
p
2 +
3
p
20− 14p2 é um número inteiro múlti-
plo de quatro.
12. (ITA) Sobre o número x =
p
7− 4p3+p3 é cor-
reto afirmar que
(a) ]0,2[. (b) x é racional. (c)
p
2x é irracional.
(d) x 2 é irracional. (e) x ∈ ]2,3[.
Respostas
1. 3
p
4+ 3
p
2+ 1 2. 9 4. 2000− 1
2000
5. 364 6. -3 7.
a) x 128− 1 b) 64p2− 1 8. 1 12. b
2 Conjuntos Numéricos
2.1 Inteiros (Z)
Definição 1. Sejama e b inteiros, dizemosquea di-
vide b , ou que a é um divisor de b , ou que b é um
múltiplo de a , se existe um inteiro c tal que b = c a ,
e denotamos que a |b .
Fatos usuais:
* Se a , b > 0, e a |b , então a ≤ b .
5
* Se a |b1, a |b2, . . ., a |bn , então para inteiros arbi-
trários c1, c2, . . ., cn ,
a |
n∑
i=1
bi ci .
Exemplo 13. (IME) Sejam x e y números inteiros.
Prove que 2x + 3y é divisível por 17 se, e somente
se, 9x + 5y é divisível por 17.
Solução. 17|(2x + 3y ) ⇒ 17|
�
13(2x + 3y )
�
, ou
17|(26x + 39y ) ⇒ 17|(9x + 5y ), e recipro-
camente, 17|(9x + 5y ) ⇒ 17|
�
4(9x + 5y )
�
, ou
17|(36x + 20y )⇒ 17|(2x + 3y ).
Teorema 2. Dados dois inteiros a e b , b > 0, existe
um único par de inteiros q e r tais que b = qa + r e
0≤ r < a , com r = 0 se, e somente se, a |b .
Definição 2. O Máximo Divisor Comum (MDC) de
dois inteiros a e b (a ou b diferentes de zero), de-
notado por (a ,b ), é omaior inteiro que divide a e b .
Teorema 3. (Bezout) Seja d o máximo divisor
comum de a e b , então existem inteiros n0 e m0
tais que d = n0a +m0b .
Algumas propriedades
(1). Omáximo divisor comum d de a e b é o divisor
positivo de a e b o qual é divisível por todo divisor
comum.
(2). Para todo inteiro positivo t , (t a , t b )= t (a ,b ).
(3). Se c > 0 e a e b são divisíveis por c , então
a
c
,
b
c
‹
=
1
c
(a ,b ).
(4). Se (a ,b ) = d , temos que

a
d
,
b
d
‹
= 1.
(5). Se a |b c e (a ,b ) = 1, então a |c .
Teorema 4. Se a e b são inteiros e a = qb + r onde
q e r são inteiros, então (a ,b ) = (b , r ).
Teorema 5. (Algoritmo de Euclides) Sejam r0 = a e
r1 = b inteiros não - negativos com b 6= 0. Se o algo-
ritmo da divisão for aplicado sucessivamente para
se obter
r j = q j+1r j+1 + r j+2, 0≤ r j+2 < r j+1
para j = 0, 1, . . . , n − 1 e rn+1 = 0 então (a ,b ) = rn , o
último resto não - nulo.
Definição 3. Um número inteiro n , (n > 1), pos-
suindo somente dois divisores positivos n e 1 é
chamado primo.
Definição 4. Um número inteiro n que possui
mais do que dois divisores positivos é chamado de
composto.
Teorema 6. Se p |ab , p primo, então p |a ou p |b .
Teorema 7. (Teorema Fundamental da Aritmética)
Todo inteiro maior do que 1 pode ser representado
de maneira única (a menos da ordem) como um
produto de fatores primos.
Teorema 8. A sequência dos números primos é
infinita.
Teorema 9. Se n = pα11 · p
α2
2 . . .p
αk
k
, com p1, p2,
. . ., pk números primos αi inteiros não negati-
vos então o total de divisores positivos de n é
(α1+ 1)(α2+ 1) . . .(αk + 1).
Demonstração 2. Seja
n = p
α1
1 ·p
α2
2 · . . . ·p
αk
k ,
com p1,p2, . . . ,pk números primos distintos e
α1, . . . ,αk inteiros positivos. Aritmética elementar
garante que um inteiro positivo d divide n se, e só
se, d = pβ11 · p
β2
2 · . . . · p
βk
k , onde 0 ≤ βi ≤ αi , para
1 ≤ i ≤ k . Portanto, n possui tantos divisores pos-
itivos quantas sejam as maneiras de escolhermos
os inteiros β1, . . . ,βk , tais que 0 ≤ βi ≤ αi para
1 ≤ i ≤ k . Como há exatamente αi + 1 possibili-
dades para βi (quais sejam, 0, 1, . . . , αi ), invocando
novamente o princípio multiplicativo, concluímos
que n possui exatamente
(α1+ 1) · (α2+ 1) · . . . · (αn + 1) (1)
divisores positivos.
Exemplo 14. Quantos divisores positivos tem o
número 72= 23 · 32?
Solução. Aritmética elementar ensina que cada di-
visor positivo do número 72= 23 ·32 possui a forma
2a · 3b , com a ∈ {0,1,2,3} e b ∈ {0,1,2}. Por exem-
plo, 23 · 31, 20 · 32 e 22 · 30 são divisores positivos de
72. Portanto, o número de divisores positivos de 72coincide com o número de pares ordenados (a ,b )
de inteiros tais 0 ≤ a ≤ 3 e 0 ≤ b ≤ 2. Pelo princípio
multiplicativo, há exatamente 4 ·3= 12 de tais pares
ordenados.
6
Exemplo 15. Quantos divisores positivos pares pos-
sui o número 72= 23 · 32?
Solução. Cada divisor positivo par do número 72=
23 · 32 possui a forma 2a · 3b , com a ∈ {1,2,3} e
b ∈ {0,1,2}. Portanto, o número de divisores posi-
tivos pares de 72 coincide com o número de pares
ordenados de inteiros (a ,b ), tais que 1 ≤ a ≤ 3 e
0≤ b ≤ 2. Pelo princípio multiplicativo, tal número
é igual a 3 · 3= 9.
Exemplo 16. Qual a somados divisores positivos de
72= 23 · 32?
Solução. Listando e somando todos os divisores
positivos de 72, encontramos
1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 9+ 12+ 18+ 24+ 36+ 72= 195.
Entretanto, podemos fazer issoda seguintemaneira
mais organizada:
1+ 2+ 3+ 4+ 6+ 8+ 9+ 12+ 18+ 24+ 36+ 72=
= 20 · 30+ 21 · 30+ 20 · 31+ 22 · 30+ 21 · 31+ 23 · 30+
+ 20 · 32+ 22 · 31+ 21 · 32+ 23 · 31+ 22 · 32+ 23 · 32
= (20+ 21+ 22+ 23) · 30+ (20+ 21+ 22+ 23) · 31
+ (20+ 21+ 22+ 23) · 32
= (20+ 21+ 22+ 23) · (30+ 31+ 32).
Agora, observe que 20 + 21 + 22 + 23 é uma PG com
3+1= 4 termos e 30+31+32 é uma PG com2+1= 3
termos. Por fim, lembrando que
1+ r 1+ r 2+ . . .+ r n =
r n+1− 1
r − 1 (2)
para todo real r 6= 1, concluímos que a soma dos
divisores positivos de 72 é igual a
24 − 1
2− 1 ·
33 − 1
3− 1 = 15 · 13= 195.
Generalizando o exemplo anterior, seja
n = p
α1
1 ·p
α2
2 · . . . ·p
αk
k
com p1,p2, . . . ,pk números primos distintos e
α1, . . . ,αk inteiros positivos. Distribuindo os
produtos
(1+p1+p
2
1 + · · ·+p
α1
1 )(1+p2+p
2
2 + · · ·+p
α2
2 ) . . .
. . . (1+pk +p
2
k
+ · · ·+pαkk ),
obtemos, pelo princípio multiplicativo, uma soma
com exatamente (α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αk + 1) parce-
las, na qual cada divisor positivo de n comparece
precisamente uma vez. Fazendo r sucessivamente
igual a p1, p2, . . . , pk em (2), concluímos que a soma
dos divisores positivos de n é igual a
p
α1
1 − 1
p1− 1
· p
α2
2 − 1
p2− 1
· . . . · p
αn
n
− 1
pn − 1
.
Exemplo 17. Seja n = 231 · 319. Quantos divisores
positivos de n2 são menores do que n mas não di-
videm n?
Solução. Mais geralmente, seja n = p r · q s , em que
p e q são primos distintos e r e s são inteiros posi-
tivos. Então, n2 = p 2r ·q 2s , de forma que, por (1), n2
possui exatamente
(2r + 1)(2s + 1)
divisores positivos. Observe agora que, para cada
divisor positivo d de n2, tal que d < n , o número
natural n
2
d também é um divisor positivo de n
2, tal
que n
2
d > n . Portanto, excluído o divisor n de n
2,
concluímos que existem exatamente
(2r + 1)(2s + 1)− 1
2
= 2r s + r + s
divisores positivos de n2 e que sãomenores que n .
Como (novamentepor (1))n possui (r+1)(s+1)divi-
sores positivos (incluído o próprio n), e como todo
divisor de n é também divisor de n2, concluímos
que existem
(2r s + r + s )− [(r + 1)(s + 1)− 1] = r s
divisores positivos de n2, menores que n e que não
são divisores de n .
Em particular, se r = 31 e s = 19, então r s = 589.
Teorema 10. Dado um número n , composto, então
ele possui um fator primo ( 6= 1) menor ou igual à
raiz quadrada deste número.
Demonstração 3. Se n = a · b , podemos ter ou
a <
p
n , a =
p
n ou a >
p
n :
1) a =
p
n
2) a <
p
n
3) a >
p
n⇒ b = n
a
<
np
n
=
p
n .
Em qualquer caso, temos um fator menor ou igual
a
p
n e diferente de 1.
Exemplo 18. São dados 15 números naturais
maiores que 1 e menores que 1998 tais que dois
quaisquer são primos entre si. Mostre que pelo
menos um desses 15 números é primo.
7
Solução. Dado 1 < n < 1998, se ele não for primo,
ele tem que ter um fator primo menor que
p
1998,
ou seja, um fator primo, menor que 45. Como
só existem 14 primos menores que 45, e são 15
números, então um desses não terá fator primo
menor que 45, logo será primo.
Definição 5. O Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
de dois inteiros positivos a e b é o menor inteiro
positivo que é divisível por a e b . Vamos denotá -
lo por [a ,b ].
Teorema 11. Para a e b inteiros positivos temos,
[a ,b ] · (a ,b ) = a · b .
2.1.1 Aritmética Modular
Definição 6. Se a e b são inteiros dizemos que a é
congruente a b módulom (m > 0) sem |a − b . De-
notamos isto por a ≡ b (modm ). Sem ∤ a − b dize-
mos que a é incongruente a b módulom e denota-
mos a 6≡ b (modm ).
Teorema 12. Se a e b são inteiros, temos que a ≡ b
(mod m) se, e somente se, existir um inteiro k tal
que a = b +km .
Teorema 13. Se a ,b , c e m são inteiros, m > 0, as
seguintes sentenças são verdadeiras:
(a) a ≡ a (modm).
(b) Se a ≡ b (modm), então b ≡ a (modm).
(c) Se a ≡ b (modm) e b ≡ c (modm), então a ≡ c
(modm).
Teorema 14. Se a ,b , c e m são inteiros que a ≡ b
(modm), então
(a) a + c ≡ b + c (modm).
(b) a − c ≡ b − c (modm).
(c) a c ≡ b c (modm).
Teorema 15. Se a ,b , c ,d e m são inteiros tais que
a ≡ b (modm) e c ≡ d (modm), então
(a) a + c ≡ b +d (modm).
(b) a − c ≡ b −d (modm).
(c) a c ≡ bd (modm).
Teorema 16. Se a ,b , c e m são inteiros e a c ≡ b c
(modm), então a ≡ b (mod m
d
), em que d = (c ,m ).
Exemplo 19. Mostre que 13|270+ 370.
Solução. Como 212 ≡ 1 (mod 13), temos que 260 ≡ 1
(mod 13). Mas 25 ≡ 6 (mod 13) e, portanto, 210 ≡
36 ≡ −3 (mod 13). Logo, 260 · 210 ≡ −3 (mod 13).
Sabemos que 33 ≡ 1 (mod 13), donde 369 ≡ 1 (mod
13). Como 3 ≡ 3 (mod 13) temos que 370 ≡ 3
(mod 13). Logo somando - se, membro a membro,
270 ≡ −3 (mod 13) com 370 ≡ 3 (mod 13) obtemos
270+ 370 ≡ 0 (mod 13).
Exercícios propostos
1. (IME) Seja a equação pn + 144 = q 2, onde n
e q são números inteiros positivos e p é um
número primo. Determineos possíveis valores
de n , p e q .
2. (IME) O par ordenado (x , y ), com x e
y inteiros positivos, satisfaz a equação
5x 2 + 2y 2 = 11(x y − 11). O valor de x + y é
(a) 160. (b) 122. (c) 81. (d) 41. (e) 11.
3. (IME) A soma dos números inteiros positivos
de quatro algarismos que admitem 3,5 e 7
como fatores primos é
(a) 11025. (b) 90300. (c) 470005. (d) 474075.
(e) 475105.
4. (IME) Seja N um número inteiro de 5 algaris-
mos. O número P é construído agregando -
se o algarismo 1 à direita de N e o número Q
é construído agregando - se o algarismo 1 à
esquerda de N . Sabendo - se que P é o triplo
de Q , o algarismo das centenas do número N
é
(a) 0. (b) 2. (c) 4. (d) 6. (e) 8.
5. (IME) Determine o conjunto solução S =
{(x , y )|x ∧ y ∈Z} da equação
(x + y )k = x y
sabendo que k é um número primo.
6. (IME) Prove que para qualquer número inteiro
k , os números k e k 5 terminam sempre com o
mesmo algarismo (algarismo das unidades).
7. (IME) Considere quatro números inteiros
a ,b , c e d . Prove que o produto
(a − b )(c −a )(d −a )(d − c )(d − b )(c − b )
8
é divisível por 12.
8. (IME) Sabendo - se que m e n são inteiros
positivos tais que 3m + 14400 = n2, determine
o resto da divisão dem +n por 5.
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
9. (IME)Seja a equaçãon2−7m2 = (5m−2n )2+49.
Determine todos os pares inteiros (m ,n ) que
satisfazem a esta equação.
10. (IME) Quantos restos diferentes são possíveis
da divisão de n2 por 11, sendo n um número
natural?
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7
11. (IME) Sejan um inteiro positivo cuja represen-
tação decimal é am . . .a1a0 e f é a função que
troca a posição dos dígitosa2i e a2i+1, de forma
que f (a2k+1a2k . . .a1a0) = a2ka2k+1 . . .a0a1. Por
exemplo:
f (123456) = 214365
f (1034) = 143
f (123) = 1032
f (10) = 1
Determine omenor número maior que 99 que
satisfaça a equação
x 2 = 9x + 9 f (x ) + ( f (x ))2.
12. (IME) Determine o(s) valor(es) de x , inteiro(s)
e positivo(s), que satisfaz(em) a equação
x 2 =
x∑
y=1
–
y−1∏
z=0
(y − z )
™
.
13. Mostre que sen é ímpar, entãon2−1 é divisível
por 8.
14. Sejam x , y , z inteirostais que x 3 + y 3 − z 3 é
múltiplo de 7. Mostre que um desses números
é múltiplo de 7.
15. Sejam p ,q inteiros positivos. Mostre que
2p + 1= q 2 implica p = q = 3.
16. Para quais valores de n , 28 + 211 + 2n é um
quadrado perfeito?
17. Um número natural é chamado de número
perfeito se ele é igual à soma de seus divisores
naturais diferentes dele mesmo. Prove que se
2p − 1 é um número primo, então 2p−1(2p − 1)
é um número perfeito.
18. Considere os números a = 111. . .11 (n dígitos
iguais a 1) e b = 1000. . .05 (n − 1 dígitos
iguais a 0), representados no sistema decimal.
Prove que ab + 1 é um quadrado perfeito e
determine sua raiz quadrada.
19. Qual o menor inteiro positivo com o mesmo
número de divisores de 2004?
20. Determine todos os pares de inteiros não ne-
gativos (x , y ) tais que
(x y − 7)2 = x 2+ y 2.
Respostas
1. (n ,p ,q ) = (8,2,20), (4,3,15), (2,5,13) 2.
d 3. d 4. e 5. (x , y ) = (k (1 − k ),k −
1), (k (1 + k ),k + 1), (0,0), (2k , 2k ), (k − 1,k (1 −
k )), (k + 1,k (1 + k )) 8. e 9. (m ,n ) =
(13,51), (−13,−51), (37,99), (−37,−99), (7,21), (−7,−21)
10. d 11. 1110 12. x ∈ {1,3} 16. 12 19. 60 20.
(x , y ) = (7,0), (0,7), (3,4), (4,3)
2.2 Reais (R)
O conjunto dos números reais é um conjunto
munido de duas operações, chamadas adição e
multiplicação, que satisfazem alguns axiomas. O
conjunto dos números reais pode ser particionado
em dois conjuntos: racionais (Q) e os irracionais
R−Q. O conjunto dos números racionais, Q, pode
ser representado como o conjunto dos números
da forma
p
q
, p ,q ∈ Z, q 6= 0. Os números reais que
não são racionais são chamados de irracionais.
Logo abaixo os axiomas de construção do conjunto
dos números reais e algumas propriedades do
conjunto.
9
2.2.1 Axiomas da adição
1. Associatividade: (x + y ) + z = x + (y + z ),
∀x , y , z ∈R.
2. Comutatividade: x + y = y + x , ∀x , y ∈R.
3. Elemento neutro: existe 0 ∈R tal que x + 0= x ,
∀x ∈R. O elemento 0 será chamado de zero.
4. Simétrico: ∀x ∈ R, existe −x ∈ R tal que
x + (−x ) = 0.
A soma x + (−y ) será representada por x − y e
chamada de diferença entre x e y . A operação
(x , y ) 7−→ x − y será chamada de subtração.
2.2.2 Axiomas da multiplicação
1. Associatividade: (x ·y )·z = x ·(y ·z ),∀x , y , z ∈R.
2. Comutatividade: x · y = y · x , ∀x , y ∈R.
3. Elemento neutro: existe 1 ∈ R tal que 1 6= 0 e
x · 1 = x , ∀x ∈ R. O elemento 1 será chamado
de um.
4. Inverso multiplicativo: ∀x 6= 0, x ∈ R, existe
x−1 tal que x · x−1 = 1.
5. Distributividade: x · (y + z ) = x · y + x · z ,
∀x , y , z ∈R.
A multiplicação x · y −1, com y 6= 0, será represen-
tada por
x
y
e chamada de quociente entre x e y . A
operação (x , y ) 7−→ x
y
será chamada de divisão.
Exemplo 20. Prove que (−x ) · y = x · (−y ) = −(x · y )
e que (−x ) · (−y ) = x · y .
Solução. Temos que (−x ) · y + x · y = (−x + x ) · y =
0 · y = 0 ⇔ (−x ) · y = −(x · y ). Analoga-
mente, x · (−y ) = −(x · y ). Além disso,
(−x ) · (−y ) =−[x · (−y )] =−[−(x · y )] = x · y .
2.2.3 Propriedades
1. Se x > 0 e y > 0, então x + y > 0 e x · y > 0.
(Definição)
2. Seja x ∈ R, então x = 0, ou x > 0 ou x < 0.
(Definição)
3. Se x > 0 e y < 0, então x > y .
4. x < y e y < z , então x < z .
5. Dados x , y ∈R, ocorre exatamente umadas al-
ternativas seguintes: x = y , ou x < y , ou x > y .
6. Se x < y , então x + z < y + z , ∀x , y , z ∈R.
7. Se x < y , então x z < y z , para z > 0 e x z > y z ,
para z < 0.
Exemplo 21. Se x 6= 0, prove que x 2 > 0.
Solução. Da propriedade 2, temos que x > 0 ou
x < 0. No primeiro caso, x 2 = x · x > 0. No segundo
caso, x2 = (−x ) · (−x )> 0.
Exemplo 22. Se x < y , prove que −y <−x .
Solução. Da propriedade 7, temos que
x < y ⇒ x · (−1)> y · (−1)⇒−x >−y .
Exemplo 23. Se a < b e c < d , prove que
a + c < b +d .
Solução. Da propriedade 6, temos que
a < b ⇒ a + c < b + c e que c < d ⇒ c + b < d + b .
Portanto, a + c < b +d .
Exemplo 24. Sejam p , q e r números racionais não
nulos tais que
3
p
pq 2+
3
p
q r 2+
3
p
r p 2
é um número racional não nulo. Mostre que
1
3
p
pq 2
+
1
3
p
q r 2
+
1
3
p
r p 2
também é um número racional.
10
Solução. Faça a = 3
p
pq 2, b = 3
p
q r 2 e c = 3
p
r p 2.
Queremos mostrar que
1
a
+
1
b
+
1
c
=
ab + b c + c a
ab c
é um número racional. Como ab c = pq r é um
número racional basta mostrar que ab + b c + c a
é um número racional. Porém,
(a + b + c )3 =
a 3+ b 3+ c 3− 3(ab + b c + c a )(a + b + c )− 3ab c .
Como a + b + c é um número racional, temos que
(a + b + c )3 também é. Além disso, a 3 = pq 2, b 3 =
q r 2 e c 3 = r p 2 são números racionais, portanto,
já que a + b + c 6= 0, ab + b c + c a é um número
racional.
Exercícios propostos
1. Escreva a dízima 0,23200320032003. . . como
fração
p
q
, em que p e q são primos entre si.
2. Sejam m e n inteiros positivos tais que o
período de
m
n
é 4356, ou seja, ao transformar-
mos
m
n
em um decimal aparecem, em algum
momento, repetidamente, os algarismos 4, 3,
5, 6, 4, 3, 5, 6, . . .. Prove que n é divisível por
101.
3. Prove que:
(a)
p
2 é irracional.
(b)
p
3 é irracional.
(c)
p
6 é irracional.
(d)
p
2+
p
3 é irracional.
4. Seja α um número irracional positivo. Prove
que
p
α é irracional.
5. Dado que α e β são irracionais, mas α + β
é racional. Prove que α − β e α + 2β são
irracionais.
6. Sejam a e b números racionais positivos.
Prove que
p
a +
p
b é racional se, e somente
se,
p
a e
p
b forem ambos racionais.
7. Seja α um número irracional qualquer e r um
número racional diferente de zero. Prove que a
adição, a subtração, amultiplicação e a divisão
de r e α resultarão em números irracionais.
Prove também que −α e 1
α
são irracionais.
8. (a) Considere o número irracional
p
2 e seja r
um número racional qualquer. Prove que se
r 6= 0 então rp2 é um número irracional (ou
equivalentemente: Se r
p
2 é racional, então
r = 0).
(b) Se a , b , c e d são números racionais tais
que a +b
p
2= c +
p
2, prove que a = c e b = d .
9. Mostre que:
(a) Sea e b sãonúmeros reais coma < b , então
valem as desigualdades:
a <
a + b
2
< b e a < a +
b −ap
2
< b .
(b) Entre dois números racionais quaisquer
distintos existem pelo menos um número
racional e um número irracional.
10. (FUVEST) Onúmero x =
h�p
2
�p2ip2
é racional.
(a) Usando propriedades das potências, cal-
cule x .
(b) Proveque existemdois números irracionais
α e β tais que αβ é racional.
Respostas
1. p = 11599 e q = 49995 10. a) 2
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