12. (ITA) Sobre o número x = √(7−4/p3+p3 é correto afirmar que (a) ]0, 2[. (b) x é racional. (c) p2x é irracional. (d) x2 é irracional. (e) x ∈ ]2,...

Para resolver essa questão, podemos começar simplificando a expressão dentro da raiz: x = √(7 - 4/p^3 + p^3) = √(7 - 4p^3/p^3 + p^6) = √(7p^3 + 4p^6)/(p^3 + p^6) Agora, podemos analisar cada alternativa: (a) ]0, 2[: Podemos ver que x é maior que 2, pois o numerador da expressão dentro da raiz é maior que 7p^3. Além disso, x não pode ser igual a 0, pois isso faria o denominador da expressão ser igual a 0. Portanto, a alternativa (a) está incorreta. (b) x é racional: Para que x seja racional, tanto o numerador quanto o denominador da expressão acima devem ser inteiros. No entanto, podemos ver que o numerador é uma soma de dois termos que não possuem relação de divisibilidade entre si. Portanto, a alternativa (b) está incorreta. (c) p^2x é irracional: Podemos ver que p^2x = p^(2/3) * √(7p^3 + 4p^6)/(p^3 + p^6). Como √(7p^3 + 4p^6)/(p^3 + p^6) é irracional (pois x é irracional), e p^(2/3) é irracional (pois p é irracional), então p^2x é irracional. Portanto, a alternativa (c) está correta. (d) x^2 é irracional: Podemos ver que x^2 = (7p^3 + 4p^6)/(p^3 + p^6). Como tanto o numerador quanto o denominador possuem fatores em comum (p^3), podemos simplificar a expressão para x^2 = 7/p^3 + 4/(1 + p^3). Como 7/p^3 é irracional (pois p é irracional), e 4/(1 + p^3) é racional, então x^2 é irracional. Portanto, a alternativa (d) está correta. (e) x ∈ ]2, 3[: Podemos ver que x é maior que 2, pois o numerador da expressão dentro da raiz é maior que 7p^3. Além disso, podemos ver que x é menor que 3, pois o denominador da expressão é maior que p^3. Portanto, a alternativa (e) está correta. Portanto, a resposta correta é a alternativa (c) p^2x é irracional e a alternativa (d) x^2 é irracional.