18. (Ita 2001) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado da distância de P a ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos e a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Seja P=(x,y) um ponto qualquer no plano cartesiano e A=(r,0) o ponto dado na questão. A distância entre P e A é dada por: d1 = sqrt((x-r)^2 + y^2) A distância de P à reta y=-r é dada por: d2 = |y + r| A diferença entre o quadrado da distância de P a A e o dobro do quadrado da distância de P à reta y=-r é de 3r^2, ou seja: d1^2 - 2d2^2 = 3r^2 Substituindo as fórmulas de d1 e d2, temos: [(x-r)^2 + y^2] - 2(y+r)^2 = 3r^2 Simplificando a equação, temos: x^2 - 2rx + 4y^2 - 4ry - 4r^2 = 0 Podemos reescrever essa equação como: (x-r)^2 + (y-r/2)^2 = 5r^2/4 Essa é a equação de uma circunferência centrada em (r, -r/2) com raio sqrt(5)/2 * r. Portanto, a alternativa correta é a letra A) uma circunferência centrada em (r, -r/2) com raio sqrt(5)/2 * r.