30. (ITA 2003) Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número z z 2 z 1 z 1 3         pertence ao conjunto dos números...

Podemos começar resolvendo a expressão dada: z^3 + z^2 - z - 3 = 0 Podemos fatorar essa expressão: (z-1)(z+1)(z+3) = 0 Portanto, as raízes são: z1 = 1 z2 = -1 z3 = -3 Agora, para que a expressão z^3 + z^2 - z - 3 pertença ao conjunto dos números reais, é necessário que as raízes sejam reais ou que sejam complexas conjugadas. Como as raízes são -3, -1 e 1, todas são reais e, portanto, o conjunto de números complexos z que satisfazem a condição é o conjunto de todos os números complexos. Geometricamente, podemos interpretar isso como o fato de que a expressão dada não tem nenhum ponto de inflexão ou raízes complexas, o que significa que ela cruza o eixo real em todos os pontos. Portanto, o conjunto de números complexos z que satisfazem a condição é todo o plano complexo.