Lista 4_ Elipse

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GEO. ANALITICA-4: ELIPSE 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1.(IME 2016) Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma 
que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone 
é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base 
ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone 
pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo. 
 
2.(IME) São dadas duas esferas , (e1) de centro O1 e raio 3, e (e2) de 
centro O2 de raio 9. A distancia entre os centros e 20. Estas esfera s são 
focais de uma secção elíptica (E) d e um cone de revolução. Determine a 
excentricidade e distancia focal de (E). 
 
3 .(IME) E dada uma elipse de eixo focal 2.a e excentricidade igual a √
2
3
. 
Essa elipse e a secção de um cone de revolução. O ângulo que o plano 
da Elipse forma com o eixo do cone é 𝛽 = 45𝑜 . Pede-se em função de 
a a distancia do vértice v do cone ao plano da elipse 
 
4. (IME 2014) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos 
são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da 
semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 
3
.
2
 Considere 
que os pontos A , B , C e D representam as interseções da elipse com 
as retas de equações y x e y x.  A área do quadrilátero ABCD é 
a) 8 b) 16 c) 
16
3
 d) 
16
5
 e) 
16
7
 
 
5.(Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que 
circunscreve a elipse de equação 2 2x 9y 8x 54y 88 0     é correto 
afirmar que 
a) tem raio igual a 1. 
b) tangencia o eixo das abscissas. 
c) é secante ao eixo das ordenadas. 
d) intercepta a reta de equação 4x – y 0. 
 
6.(IME 2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um 
ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial 
desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade 
A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma 
que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a 
extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a 
extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do 
lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer 
o deslocamento descrito é 
a) 2 249x 9y – 280x 120y – 441 0   
b) 2 249x – 406x – 49y 441 0  
c) 2 29x 49y – 441 0  
d) 2 29x 9y 120y – 441 0   
e) 2 29x – 49y – 441 0 
 
7.(UNICAMP) Dado uma elipse de semi-eixos a e b calcule, em termos 
destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos 
aos eixos da elipse. 
 
8.(AFA) Na figura abaixo, F1 e F2 são focos da elipse 
2 2 x y
1
25 9
  . O ponto 
C, de coordenadas 30, 
2
 
 
 
, pertence ao segmento MN . Os segmentos
AC, CB e MNsão, respectivamente, paralelos aos segmentos 
2121 FF e PF ,PF . A área da figura sombreada, em unidades de área, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)3 b)6 c)9 d)12 
 
9.(AFA) Sobre o triângulo PF1F2 onde P(2, 2) e F1 e F2 são focos da elipse 
2 2x y
1
9 25
  , é correto afirmar que 
a) é isósceles. 
b) é obtusângulo. 
c) tem área igual a 16 
d) tem perímetro igual a 2 2 8 
 
10.(IME) Determine a equação cartesiana da elipse de focos F(2, 0) e F'(-
2, 0), tal que o valor máximo da área do triângulo definido pelos raios 
vetores de um mesmo ponto da curva e o eixo dos XX seja igual a oito 
unidades de área. 
 
11.(AFA) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, 
é 
a) 
2 2(x 4) (y 3)
1
9 16
 
  . 
b) 
2 2(x 5) (y 1)
1
9 16
 
  . 
c) 
2 2(x 1) (y 5)
1
16 9
 
  . 
d) 
2 2(x 1) (y 5)
1
9 16
 
  . 
 
 
12.(IME 2012) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais 
a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. 
Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados 
pelos segmentos FC e GH. 
 
 
x -1 
9 
 
2 
 1 
y 
P 
N M 
 F1 A B F2 
C 
x 
y 
 
 2 
a) 2 2 248x 36y – 2m 0  
b) 2 2 28x 16y – 3m 0  
c) 2 2 216x 48y – 3m 0  
d) 2 2 28x 24y – m 0  
e) 2 2 216x – 24y – m 0 
 
13.(IME 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F
e F ' . A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa 
por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF'
interceptam a reta s em H e H' , respectivamente. Sabendo que o 
segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é: 
 
a) 0,5 cm b) 1,0 cm c) 1,5 cm d) 2,0 cm e) 3,0 cm 
 
14.(IME) Um cônica tem por equação 9y2 - 18y + 25x2 + 50x - 191 = 0. 
Identifique-a e calcule sua excentricidade, se for o caso. 
 
15.(ITA) Considere a circunferência C de equação 
x² y² 2x 2y 1 0     e a elipse E de equação 
x² 4y² 4x 8y 4 0     . Então: 
a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos 
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos 
c) C e E são tangentes exteriormente 
d) C e E são tangentes interiormente 
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam 
 
16.(ITA) Tangenciando externamente a elipse 1, tal que 1: 9x2 + 4y2 - 
72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse 2, de eixo maior sobre a reta 
que suporta o eixo menor de 1 e cujos eixos têm mesma medida que os 
eixos de 1. Sabendo que 2 está inteiramente contida no primeiro 
quadrante, o centro de 2 é: 
 
a) (7,3) b)(8,2) c)(8,3) d)(9,3) e)( 9,2) 
 
17.(FUVEST) 
a) Defina elipse de focos F1 e F2 
b) Considere no plano xy a elipse de focos F1 = (-1,1) e F2 = (1,-1) e 
semi-eixo maior igual a 2.Calcule o outro semi-eixo da elipse 
c) Determine a intersecção da elipse com a reta de equação x = 1 
 
18.(AFA) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, 
juntamente com os pontos A(-3,5) e B(3,5), determina triângulos com 
perímetro 2p = 16 cm é uma 
 
a) elipse. b)parábola. c)hipérbole d)circunferência 
 
19.(Ufrj 2002) Uma elipse cuja distância focal mede 1 cm está inscrita 
em um retângulo (de lados paralelos aos eixos principais da elipse) de 
área igual a 2 cm2. Determine as medidas dos lados do retângulo. 
 
20. (Fuvest 2001) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano 
cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que 
o ponto médio do segmento AB é: 
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) 
d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2) 
 
21.(ITA) Seja k > 0 tal que a equação    x² x k y² y 0    define uma 
elipse com distância focal igual a 2. Se (p, q) são coordenadas de um 
ponto da elipse, com q² q 0  , então 
p p²
q² q


 é igual a: 
 
a) 2 5 b) 2 5 c) 2 3 d) 2 3
 
22.(IME) Na elipse de excentricidade 1/2, foco na origem e reta diretriz 
dada por 3x+ 4y = 25, determine: 
a) Um dos focos da elipse. 
b) O outro foco. 
c) A equação da outra reta diretriz. 
 
23.(IME) Dada a curva 4x2 + y2 - 4 = 0, determine as equações das retas 
tangentes a esta curva que contém o ponto (-3, -2). 
 
24.Determine as equações da s retas que são paralelas a reta y 2x e 
que tangenciam a elipse de equação 
2 2x y
1
5 4
  . 
 
25.(IME 2005) Considere uma elipse de focos F e F’, e M um ponto 
qualquer dessa curva. Traça-se por M duas secantes MF e MF' , que 
interceptam a elipse em P e P’, respectivamente. Demonstre que a soma 
   MF MF'FP F'P' é constante. 
Sugestão: calcule inicialmente a soma    1 1MF FP . 
 
26.(IME) Em um trapézio ABCD , a base maior AB=a é fixa e a base 
menor tem medida constante b. A soma dos dois lados não paralelos é 
constante e igual a L. Os prolongamentos dos lados não paralelos se 
encontram em I. 
a) Demonstre que a medida que a base menor CD se desloca , a curva 
descrita por I é uma cônica. 
b) Determine os eixos e a distância focal. 
 
27.(ITA 2006) Os focos de uma elipse são  1F 0; 6  e  2F 0;6 . Os 
pontos  A 0;9 e  B x;3 , x>0 , estão na elipse. A área do triângulo 
com vértices em B , 1 2F e F é igual a : 
 
28.(ITA 2005) A distancia focal ea excentricidade da elipse com centro 
na origem e que passa pelos pontos (1;0) e (0;-2) são , respectivamente 
 
29.(ITA 2004) Considere todos os números z x yi  que têm módulo 
7
2
 e estão na elipse 2 2x 4y 4  . Então , o produto deles é igual a: 
 
30.(ITA 2003) Determine o conjunto dos números complexos z para os 
quais o número 
z z 2
z 1 z 1 3
 
 
   
 pertence ao conjunto dos 
números reais. Interprete (ou identifique) este conjunto geometricamente 
e faça um esboço do mesmo. 
31.(ITA 2003) Sabe-se que uma elipse de equação 
2 2
2 2
x y
1
a b
  
tangencia internamente a circunferência de equação x2 + y2 = 5 e que a 
reta de equação 3x + 2y = 6 é tangente à elipse no ponto P. Determine as 
coordenadas de P. 
32.(ITA 2001) O coeficiente angular da reta tangente à elipse 
x² y²
1
16 9
  
no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto P = (8,0) 
é: 
a) 
3
3
 b)
1
2
 c)
2
3
 d)
3
4
 e) 
2
4
 
 
 
 
 
 3 
33.(Ufrj 2001) Sejam F1 e F2 os pontos do plano cartesiano de 
coordenadas F1=(- 3 ,0) e F2=( 3 ,0). Determine as coordenadas dos 
pontos da reta r de equação x – y = 1 cujas somas das distâncias a F1 e 
F2 sejam iguais a 4 (isto é: determine as coordenadas dos pontos P sobre 
a reta r que satisfazem PF1 + PF2 = 4). 
 
34.(IME 1981) Dá-se uma elipse de vértices , definida por 
 (eixo focal) , (eixo não focal). Sejam 
 os focos da elipse , e uma tangente a elipse em um ponto M 
qualquer ( e ). Essa tangente é cortada nos 
pontos e respectivamente pelas tangentes à elipse nos vértices 
 e . Mostre que o quadrilátero é inscritível e que o 
produto é constante 
 
35.(IME 1986) Dados dois pontos fixos A e B (AB=d) , considere as 
elipses passando por B, com foco em A e eixo maior de comprimento
, tal que . 
a) Determine o lugar geométrico do segundo foco F das elipses. 
b) Determine o lugar geométrico dos centros de gravidade dos 
triângulos ABF. 
 
36. (IME 2016) Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios 
√3−1
√3+1
𝑅 𝑒 𝑅 , conforme a figura abaixo. Um plano secante ao cone é 
traçado de forma que este seja tangente as duas esferas. Determine em 
termos de R o maior segmento possível que une dois pontos da curva 
formada pela intersecção do referido plano com o cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. 
𝜋𝑎2√6
18
 
2. 𝑒 =
8√91
91
 𝑒 2𝑐 = 16 
3. 𝑑 =
√2
2
𝑎 
4. D 
5. B 
6. C 
7. 𝑙2 =
4𝑎2𝑏2
𝑎2+𝑏2
 
8. B 
9. B 
10. 
𝑥2
20
+
𝑦2
16
= 1 
11. 𝐷 
12. D 
13. 2 
14. Elipse de equação 
(𝑦−1)2
25
+
(𝑥+1)2
9
= 1 e excentricidade 𝑒 =
4
5
 
15. C 
16. D 
17. B) √2 c) (1,1) 𝑒 (1,
−5
3
) 
18. A 
19. 2𝑎 = √2 𝑒 2𝑏 = 1 
20. D 
21. A 
22. Duas respostas possíveis 
1a resposta 
𝐹1 = (0,0), 𝐹2 = (−2, −
8
3
) 
OUTRA DIRETRIZ 3𝑥 + 4𝑦 +
125
3
= 0 
 
2a resposta 
𝐹1 = (0,0), 𝐹2 = (
6
5
,
8
5
) 
Outra diretriz 3𝑥 + 4𝑦 + 15 = 0 
 
23. 𝑦 = −2 𝑒 𝑦 =
3
2
𝑥 +
5
2
 
24. 𝑦 = 2𝑥 − 2√6 𝑒 𝑦 = 2𝑥 + 2√6 
25. demonstração 
26. Elipse de focos A e B 
Eixo maior 
𝑎
𝑎−𝑏
𝐿 
Distancia focal a 
Eixo menor 
𝑎
𝑎−𝑏
√𝐿2 − (𝑎 − 𝑏)2 
27. 12√10 
28. 2𝑐 = 2√3 𝑒 𝑒 =
√3
2
 
29. 
49
16
 
30. Exterior da elipse de focos (1,0) e (-1,0) e eixo maior 3. 
31. (
−8
9
,
5
3
) 
32. D 
33. (0,-1) e (
8
5
,
3
5
) 
34. Demo 
35. Demo 
36. 𝑅(3 − √3) 
 
 
1 2A e A
1 2A A 2a 1 2B B 2b
1 2F e F
1M A 2M A
1T 2T
1A 2A 1 1 2 2T FF T
1 1 2 2A T .A T
2a
2a d