41. (Ufrgs 2020) A área do quadrilátero formado pelos pontos de interseção da circunferência de equação 2 2(x 1) y 4+ + = com os eixos coordenados ...

Para resolver essa questão, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados e, em seguida, calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos. Começando pelos eixos coordenados, temos: Quando x = 0, temos: 2y² + 8 = 0 y² = -4 (não há solução real) Quando y = 0, temos: 2x² + 2 = 0 x² = -1 (não há solução real) Portanto, a circunferência não intersecta nenhum dos eixos coordenados. Podemos notar que a circunferência é centrada no ponto (-1, -2) e tem raio 2. Podemos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção com os eixos coordenados imaginando retas que passam pelo centro da circunferência e pelos pontos de interseção. Quando a reta passa pelo centro da circunferência e pelo ponto de interseção com o eixo x, temos um triângulo retângulo com catetos de comprimento 2 e a coordenada y do ponto de interseção. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar a coordenada y: y² + 2² = 2² y² = 0 y = 0 Portanto, os pontos de interseção com o eixo x são (-3, 0) e (1, 0). Da mesma forma, quando a reta passa pelo centro da circunferência e pelo ponto de interseção com o eixo y, temos um triângulo retângulo com catetos de comprimento 2 e a coordenada x do ponto de interseção. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar a coordenada x: x² + 2² = 2² x² = 0 x = 0 Portanto, os pontos de interseção com o eixo y são (0, -4) e (0, 0). Agora podemos calcular a área do quadrilátero formado por esses pontos. Podemos dividi-lo em dois triângulos e um retângulo: - O triângulo com vértices em (-3, 0), (-1, -2) e (0, 0) tem área 3. - O triângulo com vértices em (1, 0), (-1, -2) e (0, 0) tem área 3. - O retângulo com vértices em (0, 0), (0, -4), (-1, -2) e (-3, 0) tem área 6. A área total do quadrilátero é a soma das áreas dos triângulos e do retângulo: 3 + 3 + 6 = 12 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 12.