O polinômio P(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 5x - 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) 5 ...
O polinômio P(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 5x - 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
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💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade de que se uma raiz é dupla, então ela é raiz da derivada do polinômio. Assim, temos: P(x) = x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 5x - 4 P'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 6x + 5 Como 1 é raiz dupla, temos: P(1) = P'(1) = 0 Substituindo na derivada, temos: P'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 6x + 5 P'(x) = (x - 1)(4x^2 - 11x - 5) As outras raízes são as raízes do polinômio de segundo grau: 4x^2 - 11x - 5 = 0 Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos as outras duas raízes: x = (11 ± √141)/8 Assim, a diferença entre as outras raízes é: |(11 + √141)/8 - (11 - √141)/8| = |√141/4| = 3,54 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 3.
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