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Tarefa Complementar – Aulas 57, 58, 59 e 60 Equações Polinomiais Prof. Rodolfo Pereira Borges 1 1. (Pucrj 2018) A soma das raízes da equação 3 2x 2x 6x 0 vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 9 2. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Um polinômio de quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3. A razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o coeficiente do termo de quinto grau é igual a 7. A razão entre o termo independente e o coeficiente do termo de quinto grau é igual a 96. A menor raiz desse polinômio vale a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 3. (Mackenzie 2016) A equação 3 22x 3x 3x 2 0 tem como raízes 1 , 2 m e n. Então, nm é igual a a) 1 ou 0 b) 1 2 ou 2 c) 2 ou 1 d) 1 2 ou 1 2 e) 2 ou 1 4. (Unicamp 2013) Sejam r, s e t as raízes do polinômio 3 3 2 bp x x ax bx , a em que a e b são constantes reais não nulas. Se 2s r t, então a soma de r t é igual a a) b a. a b) b a. a c) b a . a d) b a. a 5. (Mackenzie 2012) As raízes da equação 3 2x 9x 23x 15 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é a) 500 b) 480 c) 260 d) 400 e) 350 6. (Fgv 2012) A figura mostra o gráfico da função 3 2f(x) 2x 3x 36x 81. a) Resolva a equação 3 22x 3x 36x 81 0. b) Para que valores de x tem-se f(x) 0 ? 7. (Mackenzie 2014) Se são as raízes da equação onde p e q são coeficientes reais e é uma das raízes dessa equação, então é igual a a) 15 b) 9 c) – 15 d) – 12 e) – 9 8. (Unicamp 2020) Sabendo que a é um número real, considere a equação quadrática 22x ax 10 0. Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 9. (Famema 2020) Sabendo-se que o número complexo 2 i é raiz do polinômio 3 2x ax bx 5, em que a e b são números reais, conclui-se que a b é igual a a) 7. b) 5. c) 8. d) 6. e) 4. 10. (Fgv 2021) De acordo com o teorema fundamental da álgebra, quando resolvida em , a equação algébrica 4 3 2x 3x 2x 6x 0 possui quatro raízes. A respeito dessas raízes, pode-se afirmar a) que duas são números irracionais e duas são números racionais positivos. b) duas são números irracionais, uma é um número inteiro não negativo e a outra é um número racional não inteiro. c) duas são números imaginários puros e duas são números inteiros não positivos. d) duas são números imaginários puros e duas são números inteiros não negativos. , eα β γ 3 2x x px q 0, 1 2iα α β γ 2 e) duas são números imaginários, uma é um número irracional e uma é número inteiro. 11. (Unicamp 2020) Sabendo que a é um número real, considere a equação quadrática 22x ax 10 0. Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. APROFUNDANDO 1. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico 3 2p(x) x ax x b. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a 1, então p(1) é igual a a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. 2. (Unicamp 2018) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x), obtêm-se quociente e resto iguais a 2x 1. Nessas condições, é correto afirmar que a) o grau de p(x) é menor que 5. b) o grau de q(x) é menor que 3. c) p(x) tem raízes complexas. d) q(x) tem raízes reais. 3. (Fuvest 2018) Considere o polinômio n n 1 n 1 1 0P(x) x a x a x a , em que 0 n 1a , , a . Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que 0a 0. O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n 1, é: a) 1 b) ni c) n 1i d) n( 1) e) n 1( 1) 4. (Fuvest 2017) Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas. a) Expresse o volume da caixa em função de x. b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 3384 cm . 5. (Fgv 2017) A equação algébrica 3 2x 7x kx 216 0, em que k é um número real, possui três raízes reais. Sabendo- se que o quadrado de uma das raízes dessa equação é igual ao produto das outras duas, então o valor de k é igual a a) 64. b) 42. c) 36. d) 18. e) 24. 6. (Pucrj 2016) Considere o polinômio 2p(x) x bx 3 e assinale a alternativa correta. a) O polinômio tem pelo menos uma raiz real para todo b . b) O polinômio tem exatamente uma raiz real para b 12. c) O polinômio tem infinitas raízes reais para b 0. d) O polinômio não admite raiz real para 1 b 1 . 3 e) O polinômio tem exatamente três raízes reais para b .π 7. (Pucsp 2016) Se 2 é a única raiz da equação 3 2x 4x 6x 4 0, então, relativamente às demais raízes dessa equação, é verdade que são números complexos a) cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes do plano complexo. b) que têm módulos iguais a 2. c) cujos argumentos principais são 45 e 135 . d) cuja soma é igual a 2i. 8. (Unicamp 2015) Considere o polinômio 3 2p(x) x x ax a, onde a é um número real. Se x 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que a) a 0. b) a 1. c) a 0. 3 d) a 1. 9. (Fgv 2014) O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da equação polinomial 4 3 2x 2x 3x ax b 0. O produto a b é igual a a) -8 b) -4 c) -32 d) 16 e) -64 10. (Epcar (Afa) 2013) As raízes da equação algébrica 3 22x ax bx 54 0 formam uma progressão geométrica. Se a, b , b 0, então a b é igual a a) 2 3 b) 3 c) 3 2 d) 1 3 11. (Unicamp 2013) Considere o polinômio 2( ) 11 2, p x x x k em que x é variável real e k um parâmetro fixo, também real. a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de p(x) por x – 1 é igual a 3? b) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b são raízes de p(x), calcule o valor de sen . a b π π 12. (Fuvest 2013) Considere o polinômio 4p x x 1. a) Ache todas as raízes complexas de p(x). b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais. 13. (Fgv 2011) O polinômio P(x) = x4 - 5x3 + 3x2 + 5x - 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 14. (Espcex (Aman) 2020) Sabe-se que as raízes da equação 3 2x 3x 6x k 0 estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de k 2 é igual a a) 5 . 2 b) 4. c) 7 . 2 d) 3. e) 9 . 2 Gabarito Resposta da questгo 1: [C] De acordo com a relação de Girard, a soma das raízes será dada por: ( 2) S 2 1 Resposta da questгo 2: [D] Seja 3p(x) (x 2) (x a)(x b), em que a e b são raízes de p. Logo, temos 3 2 2 5 4 3 2 p(x) (x 6x 12x 8)(x (a b)x ab) x (a b 6)x (ab 6(a b) 12)x (6ab 12(a b) 8)x (12ab 8(a b))x 8ab. Em consequência, vem a b 6 7 a b 11 8ab ab 12 96 1 a 4 b 3 Portanto, segue que a menor raiz de p é 3. 4 Resposta da questгo 3: [E] Dividindo a equação por 1 x , 2 temos: 3 2 212x 3x 3x 2 0 x 2x 2x 4 0.2 Determinando as raízes m e n, temos: 2 22x 2x 4 0. x x 2 0 x 2 ou x 1. Portanto, nm poderá ser 1( 2) 2 ou 21 1. Resposta da questгo 4: [D] s2 = r t implica que as raízes deste polinômio estão em Progressão Geométrica, o que nos permite escrever que : sr, s, t , s, s q , q em que q é a razão da P.G. Utilizando as relações de Girard para soma e produto das raízes, podemos escrever: 3 b s ba s s q s q 1 a a b r s t r t a 1 a Resposta da questгo 5: [D] Como a soma dos coeficientes da equação é 0, concluímos que 1 é raiz. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, conseguiremos fatorar a equação: 3 2 2x 9x 23x 15 0 (x 1) (x 8x 15) 0 x 1 ou x 3 ou x 5. Temos então a P.A. (1, 3, 5, ...) de razão r = 2. 20a 1 19 2 39. Calculando agora a soma dos 20 primeiros termos: 1 20 20 a a 20 1 39 20 S 400. 2 2 Resposta da questгo 6: a) No gráfico percebe-se que 3 é raiz com multiplicidade par, o que nos leva a concluir que 3 é raiz dupla, já que a equação é de terceiro grau. Podemos, então, determinar a terceira raiz, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: Concluímos que 3 2 22x 3x 36x 81 (x 3) (2x 9) 0. Logo, a terceira raiz será x = –9/2 S = {–9/2, 3}. b) De acordo com o gráfico e a raiz encontrada no item (a), temos: f(x) 0 para x 9 / x . 2 Resposta da questгo 7: [C] Se é raiz, então Logo, Desse modo, e, portanto, pelas Relações de Girard, obtemos 1 2iα 1 2i.β 3 2 2 3 2 x x px q (x 1 2i)(x 1 2i)(x ) (x 2x 5)(x ) x ( 2)x (2 5)x 5 . γ γ γ γ γ 2 1 3γ γ q ( 5 ) 15. 1 α β γ γ 5 Resposta da questão 8: [D] Sejam S e P, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação. Logo, pelas Relações de Girard, temos a S 2 e 10 P 5. 2 Donde segue que as soluções da equação só podem ser 1 e 5 ou 1 e 5. Em qualquer caso, o módulo da soma é igual a 6. Resposta da questão 9: [E] Se 2 i é raiz, então 2 i também é raiz e, portanto, temos 3 2 3 2 x ax bx 5 (x r)(x 2 i)(x 2 i) x ( r 4)x (4r 5)x 5r, com r sendo a terceira raiz do polinômio. Em consequência, vem a r 4, b 4r 5 e r 1. A resposta é a b r 4 4r 5 3r 1 4. Resposta da questão 10: [D] Tem-se que 4 3 2 3 2 2 2 x 3x 2x 6x x(x 3x 2x 6) x(x (x 3) 2(x 3)) x(x 3)(x 2). Portanto, as raízes da equação são 0, 3, 2i e 2i, ou seja, duas são números imaginários puros e duas são números inteiros não negativos. Resposta da questão 11: [D] Sejam S e P, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação. Logo, pelas Relações de Girard, temos a S 2 e 10 P 5. 2 Donde segue que as soluções da equação só podem ser 1 e 5 ou 1 e 5. Em qualquer caso, o módulo da soma é igual a 6. APROFUNDANDO Resposta da questгo 1: [D] Sejam 1 2x , x e 3x as raízes de p(x), com 1 2x x 1 e 1 2x x 1. Daí, pelas Relações de Girard, temos 1 2 3 3x x x a x 1 a e 1 2 3 3x x x b x b. Portanto, vem b 1 a e, assim, encontramos 3 2p(1) 1 a 1 1 (1 a) 1 a 1 1 a 3. Resposta da questгo 2: [C] Tem-se que 2 2 2 p(x) q(x)(x 1) x 1 (x 1)(q(x) 1). Logo, nada se pode afirmar sobre as raízes de q, o grau de q é maior do que 2 (basta observar o grau do resto) e, portanto, sendo o grau do quociente igual a 2, vem que o grau de p é maior do que ou igual a 5. Finalmente, desde que 2x 1 0 possui raízes complexas, podemos afirmar que p possui raízes complexas. Resposta da questгo 3: [E] Sejam 1 2 nr , r , , r as raízes de P. Desde que tais raízes estão sobre a circunferência unitária, temos 1 2 n 1 2 n| r | | r | | r | 1 | r r r | 1. Por outro lado, pelas Relações de Girard, vem 6 n n0 1 2 n 0 a r r r ( 1) ( 1) a , 1 com 0a . Logo, segue que 1 2 nr r r 1. Mas 0a 0 e, portanto, só pode ser 0a 1. A resposta é n 1( 1) . Resposta da questгo 4: a) Como as dimensões da caixa, em centímetros, são iguais a x,16 2x e 20 2x, temos 3 2V x (16 2x)(20 2x) 4x 72x 320x, em que V é o volume, em centímetros cúbicos, e 0 x 8. b) Tem-se que 3 2 3 24x 72x 320x 384 x 18x 80x 96 0. Logo, observando que x 2 é raiz da equação 3 2x 18x 80x 96 0, e, sabendo de (a) que 0 x 8, vem 2(x 2)(x 16x 48) 0 (x 2)(x 4)(x 12) 0 2 x 4. A resposta é {x | 2 x 4}. Resposta da questгo 5: [B] Sejam a, b e c as raízes da equação, com 2a bc. Logo, pelas Relações de Girard, segue que 2 3 a b c 7a b c 7 ab ac bc k a(b c) a k abc 216 a 216 b c 13 6 13 36 k a 6 b c 13 k 42 . a 6 Resposta da questгo 6: [D] [A] Incorreta. Se b 0, então 2p(x) x 3. Logo, p não possui nenhuma raiz real para b 0. [B] Incorreta. Desde que 2b 12,Δ temos 0Δ para b 12 e, portanto, p possui duas raízes reais distintas para b 12. [C] Incorreta. Conforme (a). [D] Correta. De fato, pois 1 1 12 2 3. 3 [E] Incorreta. O polinômio tem grau 2 e, portanto, não pode ter três raízes reais. Além disso, tem-se 2 12 0π e, assim, p não possui nenhuma raiz real. Resposta da questгo 7: [A] Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: Ou seja, 3 2 2x 4x 6x 4 (x 2) (x 2x 2) 0 Determinando as demais raízes através da equação: 2 x 1 i 2 2i x 2x 2 0 x 2 x 1 i Estas raízes possuem afixos localizados no primeiro e quarto quadrantes. Portanto, a alternativa [A] está correta. Resposta da questгo 8: [C] Reescrevendo p(x) sob a forma 2p(x) (x a) (x 1), e sabendo que x 1 é a única raiz real de p(x), deve-se ter a 0. Resposta da questгo 9: [C] Seja o polinômio 4 3 2p(x) x 2x 3x ax b. Sabendo que 1 é raiz de multiplicidade 2, tem-se que p(1) 0 a b 4. Além disso, sendo 3 2p'(x) 4x 6x 6x a, deve-se ter 3 2p'(1) 0 4 1 6 1 6 1 a 0 a 8. Portanto, segue que b 4 e, assim, a b 8 ( 4) 32. Resposta da questгo 10: [D] 7 Raízes em progressão geométrica. , e q. q α α α Multiplicando as raízes e utilizando a relação do produto de Girard, temos: 354q 27 3. q 2 α α α α α Substituindo 3α na equação, temos: 3 2 a 12 3 a 3 b 3 54 0 9a 3b 0 . b 3 Resposta da questгo 11: a) Utilizando o teorema do resto, temos: 2 p 1 3 1 – 11.1 k 2 3 8 k 3 k 11 b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x2 – 11x + 6 com raízes a e b, onde: a + b = –(–11)/1 = 11 e a.b = 6/1 = 6 (a b). 11 1 sen sen sen a b a.b 6 2 π π π π Resposta da questгo 12: a) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2 2 2 2 2 P(x) (x 1) ( 2 x) P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1) Resolvendo as equações: 2x 2 x 1 0, temos 2 2i 2 2i x ou x 2 2 2x 2 x 1 0, temos 2 2i 2 2i x ou x 2 2 b) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2 2 2 2 2 P(x) (x 1) ( 2 x) P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1) Resposta da questгo 13: [A] Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, vem: 1 1 5 3 5 4 1 1 4 1 4 0 1 3 4 0 Assim, 4 3 2 2 2 2 P(x) x 5x 3x 5x 4 (x 1) (x 3x 4) (x 1) (x 4)(x 1). Portanto, como as outras duas raízes são 4 e 1, o valor absoluto da diferença entre essas raízes é | 1 4 | | 5 | 5. Resposta da questão 14: [B] Sejam a r, a e a r as raízes da equação. Logo, pelas Relações de Girard, segue que 3 a r a a r a 11 6 (a r) a (a r) (a r) a (a r) r 3 . 1 k k 8 (a r) a (a r) 1 A resposta é k 8 4. 2 2
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