27. Briot (matemático inglês-1817/1882) e Ruffini (matemático italiano-1765/1822) de- senvolverem métodos para achar soluções para as equações cham...

(a) Para calcular as expressões x² + 1/x² e x³ + 1/x³ em função de y, podemos utilizar a relação y = x + 1/x. Elevando ao quadrado, temos y² = x² + 2 + 1/x². Subtraindo 2 de ambos os lados, temos y² - 2 = x² + 1/x². Elevando ao cubo, temos y³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³. Subtraindo 3y de ambos os lados, temos y³ - 3y = x³ + 1/x³. Assim, temos: x² + 1/x² = y² - 2 x³ + 1/x³ = y³ - 3y (b) Para determinar todas as raízes reais da equação x² - 5x + 8 - 5/x + 1/x² = 0, podemos fazer a substituição x + 1/x = y. Então, temos x² + 1/x² = y² - 2 e x³ + 1/x³ = y³ - 3y. Substituindo essas expressões na equação original, temos y² - 5y + 6 = 0, que pode ser fatorada como (y - 2)(y - 3) = 0. Portanto, temos duas possibilidades: y = 2 ou y = 3. Se y = 2, temos x + 1/x = 2, o que implica em x² - 2x + 1 = 0. Logo, x = 1 é a única raiz real. Se y = 3, temos x + 1/x = 3, o que implica em x² - 3x + 1 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes x = (3 + √5)/2 e x = (3 - √5)/2. Portanto, as raízes reais da equação são x = 1, x = (3 + √5)/2 e x = (3 - √5)/2. (c) Para determinar todas as raízes reais da equação x⁶ - 2x⁵ - 5x⁴ + 12x³ - 5x² - 2x + 1 = 0, podemos fazer a substituição x + 1/x = y. Então, temos x² + 1/x² = y² - 2 e x³ + 1/x³ = y³ - 3y. Substituindo essas expressões na equação original, temos y⁶ - 5y⁴ + 12y³ - 22y² + 12y - 1 = 0. Podemos observar que y = 1 é uma raiz da equação. Dividindo a equação por y - 1, obtemos y⁵ + y⁴ - 4y³ - 18y² - 4y + 1 = 0. Podemos observar que y = -1 é uma raiz da equação. Dividindo a equação por y + 1, obtemos y⁴ - 3y² + 1 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes y = √2 e y = -√2. Portanto, as raízes reais da equação são x = 1, x = 1/√2, x = -1/√2, x = -1 e x = √2.