Lista 1_ Álgebra Básica

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Álgebra Básica
Conjuntos Numéricos
Prof. Cícero Thiago
1 Equações de 2◦ grau
Uma equação do segundo grau é uma equação do tipo
a x 2+ b x + c = 0,
em que a , b e c são números reais dados, com a 6= 0. Dada uma equação do segundo grau
como acima, denotamos por∆ o número real
∆= b 2 −4a c ,
e o denominamos o discriminate da equação. Nossa missão é tentar calcular, quando ex-
istirem, as raízes reais de uma equação do segundo grau. Para isto, considere o seguinte
trinômio:
a x 2+ b x + c = a
�
x 2+
b
a
x +
c
a
�
.
As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento de
�
x +
b
2a
�2
. Completando o quadrado, podemos escrever:
a x 2+ b x + c = a
�
x 2+2
b
2a
x +
b 2
4a 2
− b
2
4a 2
+
c
a
�
,
ou
a x 2+ b x + c = a
�
�
x +
b
2a
�2
− b
2 −4a c
4a 2
�
.
A última forma apresentada é chamada de forma canônica. Podemos agora calcular, caso
existam, as raízes reais de uma equação do segundo grau. Com efeito, sendo a 6= 0, temos
as seguintes equivalências
a x 2+ b x + c = 0⇔
�
x +
b
2a
�2
− b
2−4a c
4a 2
= 0
⇔
�
x +
b
2a
�2
=
b 2−4a c
4a 2
⇔ x + b
2a
=±
p
b 2−4a c
2a
⇔ x = −b ±
p
b 2−4a c
2a
.
1
Esta fórmula leva o nome de Fórmula de Bhaskara, em homenagem ao matemático hindu
Bhaskara que viveu no século XII.
Dependendo do discriminante,∆, as raízes podem ser ou não números reais. Em seguida,
as três possíveis possibilidades:
(1)∆ é um número real positivo (∆> 0)
Neste caso,
p
∆ é um número real e existem dois valores reais diferentes para as raízes da
equação.
(2)∆ é zero (∆= 0)
Neste caso,
p
∆ também é zero. Observamos, então, a existência de um único valor real
para as raízes desta equação. Mas uma equação do segundo grau tem duas raízes e, com
isso, podemos dizer que uma equação do segundo grau com∆= 0 possui duas raízes reais
e iguais!
(3)∆ é um número real negativo (∆< 0)
Neste caso,
p
∆ não é um número real. Dizemos, então, que não há valores reais para as
raízes da equação.
Podemos agora facilmente determinar a soma e o produto das raízes de uma equação do
segundo grau arbitrária. Sejam α =
−b −
p
∆
2a
e β =
−b +
p
∆
2a
as raízes da equação a x 2+
b x + c = 0, com a 6= 0.
(1) α+β =
−b
a
(2) αβ =
c
a
Exemplo 1. Se a equação de segundo grau x 2 − (2a − b )x + (2a 2 + b 2 − b + 1
2
) = 0 possui
duas raízes reais, determine dos valores de a e b .
Solução. Como a equação possui duas raízes reais então∆≥ 0, assim
∆≥ 0⇔ (2a + b )2−4(2a 2+ b 2− b + 1
2
)≥ 0⇔
4a 2+3b 2−4a b −4b +2≤ 0⇔
(2a − b )2+2(b −1)2 ≤ 0⇔ a = 2 e b = 1.
Exemplo 2. Se x 2+(2a−1)x+a 2 = 0 tem duas raízes reais positivas, em que a é um inteiro.
Se x1 e x2 são as raízes, determine o valor de |
p
x1−
p
x2|.
2
Solução. Se as duas raízes são reais e positivas então x1+x2 > 0, ou seja, 1−2a > 0⇔ a <
1
2
.
Como a é um número inteiro então a ≤ 0. Então
|px1−
p
x2|=
Æ
(
p
x1−
p
x2)2 =
Æ
x1+ x2−2
p
x1 x2
=
p
1−2a +2a = 1.
Exemplo 3. Se
c
a
é uma raiz da equação a x 2 + b x + c = 0, prove que as três equações
quadráticas a x 2+ b x + c = 0, b x 2 + c x +a = 0 e c x 2 +a x + b = 0 possuem uma raiz co-
mum.
Solução. Sejam x1 =
c
a
e x2 as raízes da primeira equação, então x1 x2 =
c
a
⇔ c
a
x2 =
c
a
⇔
x2 = 1. Substituindo x1 = 1 na primeira equação encontramos a + b + c = 0 e, com isso, 1
também será raiz das outras duas equações.
Exemplo 4. O professor Cícero diz a Beatriz dois números inteiros a e b tais que b é di-
visível por a . Beatriz deve encontrar um inteiro não negativo c , tal que c é divisível por b
e as raízes da equação quadrática a x 2+ b x + c = 0 devem ser inteiras. Prove que Beatriz
pode sempre conseguir encontrar o inteiro c .
Solução. Temos que existe um inteiro q tal que b = a q . Seja c = −2a q 2, então c 6= 0 e c
é divisível por b . A equação quadrática a x 2+ b x + c = 0 ou a x 2+a q x − 2a q 2 = 0 possui
raízes q e −2q .
Exemplo 5. A equação 8x 2 + (m + 1)x +m − 7 = 0 possui duas raízes reais negativas. De-
termine os possíveis valores de m .
Solução. Sejam x1 e x2 as raízes da equação. Então,
x1+ x2 =−
m +1
8
< 0⇔m >−1,
x1 x2 =
m −7
8
> 0⇔m > 7.
e
∆= (m +1)2−32(m −7)≥ 0⇔m ≤ 14 ou m ≥ 16.
Portanto, 7<m ≤ 14 ou m ≥ 16.
Exemplo 6. Dado que a é uma raiz da equação x 2−x−3= 0, determine o valor de a
3+1
a 5−a 4−a 3+a 2 .
Solução. Temos que a 2−a −3= 0⇔ a 2−a = 3. Por outro lado,
a 3+1= (a +1)(a 2−a +1),
3
= a 5−a 4−a 3+a 2 = a 2(a 3−a 2−a +1) = a 2[a 2(a −1)− (a −1)]
= a 2(a −1)(a 2−1) = a 2(a +1)(a −1)2
= (a +1)(a 2−a )2,
Portanto,
a 3+1
a 5−a 4−a 3+a 2 =
a 2−a +1
(a 2−a )2 =
4
32
=
4
9
.
Exercícios propostos
1. Se a maior raiz de (2003x )2−2002 ·2004x −1= 0 é m , e a menor raiz de x 2+2002x −
2003= 0 é n , então m −n é
(a) 2004. (b) 2003. (c)
2003
2004
. (d)
2002
2003
.
2. O conjunto verdade da equação (x −a )2 = b 2, sendo a , b reais positivos é
(a) {a + b }. (b) {a − b }. (c) {a + b , a − b }. (d) {−a + b , a + b }. (e) {a + b ,−a − b }.
3. As raízes da equação x 2 − a x + b = 0 são diferentes de zero e são os quadrados das
raízes da equação x 2 − b x +a = 0. As raízes não são necessariamente reais, mas a e
b são reais. Então o valor de a é
(a) −
p
2. (b)
p
2. (c)
p
3. (d)
3p
2. (e) 3
p
3.
4. Determine a soma dos quadrados das raízes da equação
1
x
+
2
x +3
+
3
x +6
= 1.
5. Resolva a equação
(2x −1)2
2
+
(3x −1)2
3
+
(6x −1)2
6
= 1.
6. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a equação
1
x −1 −
1
n x
+
1
x +1
= 0
possui soluções reais.
7. Resolva a equação
1
3x −1 +
1
4x −1 +
1
7x −1 = 1.
8. Determine todas as soluções reais da equação
(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.
4
9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de
2a 5−5a 4+2a 3−8a 2
a 2+1
.
10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0
possuem uma raiz comum?
11. Se p e q são primos e x 2−p x +q = 0 tem raízes inteiras distintas, ache p e q .
12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto
�
x1−
3
2
�
·
�
x2−
3
2
�
é independente de k .
13. É dada a seguinte do 2◦ grau
x 2+ (m +1)x +2m −1= 0.
(a) Qual é a condição que o discriminante dessa equação deve satisfazer para que
suas raízes sejam inteiros quando m é inteiro.
(b) Mostre que m = 1 e m = 5 são os únicos valores inteiros possíveis de m , para que
as raízes da equação sejam inteiros.
14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar para
que as duas raízes da equação sejam números inteiros.
15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−
a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.
16. Seja b um real não nulo de modo que a equação do segundo grau x 2+ b 2 x +
p
π= 0
tenha raízes reais x1 e x2. Se x1
p
π= x2(b x2−
p
π), prove que o número b é negativo.
17. (a) Sendo a e b as raízes da equação x 2+m x +1= 0, calcule, em função de m , o valor
de N =
a
b
+
b
a
.
(b) Escreva uma equação do 2◦ grau cujas raízes são a 2 e b 2.
18. Calcule valor de a , sabendo que
p
3−
p
2 é uma solução da equação a x 2−5x+
p
3= 0.
19. Considere a seguinte equação, de incógnita x
2x 2+a x − (a 2−3a +5) = 0.
5
(a) Uma de suas raízes é a . Determine o valor de a .
(b) Qual é o valor da outra raíz, para a > 0?
20. Ache todos os valores reais de a , tais que as equações
x 2− (2a +1)x +a = 0 e x 2+ (a −4)x +a −1= 0
tenham raízes x1, x2 e x3, x4, respectivamente e
x1
x3
+
x4
x2
=
x1 x4(x1+ x2+ x3+ x4)
a
.
21. a , b , c , d são números reais distintos tais que a e b são as raízes da equação x 2 −
3c x − 8d = 0, e c e d são as raízes da equação x 2 − 3a x − 8b = 0. Calcule a soma
a + b + c +d .
22. Demonstre que, se para todo n inteiro não nulo, existe x ∈ Z tal que n |x 2 + b x +
c (b , c ∈Z), então x 2+ b x + c = 0 tem raízes inteiras.
23. Sejam a , b ∈Z. Resolver (numericamente!) a equação
(a x − b )2+ (b x −a )2 = x ,
sabendo que admite uma raíz inteira.
24. As raízes de x 2+a x +1= b são inteiros positivos. Prove que o inteiroa 2+ b 2 é com-
posto.
25. Sejam a , b , c , números reais tais que as equações x 2+a x+1= 0 e x 2+b x +c = 0 têm
exatamente uma raiz real em comum e as equações x 2 + x + a = 0 e x 2 + c x + b = 0
também têm exatamente uma raiz real em comum. Determine a soma a + b + c .
26. Ache todos os pares de inteiros a , b tais que a a+b é uma raiz da equação x 2+a x+b =
0.
27. Briot (matemático inglês-1817/1882) e Ruffini (matemático italiano-1765/1822) de-
senvolverem métodos para achar soluções para as equações chamadas recíprocas.
Para melhor entender, veja a definição:
Seja a equação racional inteira a0 x
n + a1 x
n−1 + . . . + an = 0, ordenada segundo as
potências decrescentes de x com a0, a1, . . . , an números reais sendo a0 6= 0 e n in-
teiro positivo.
Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos ex-
tremos forem iguais ou simétricos (opostos). Sendo iguais, teremos uma equação
6
recíproca de 1a espécie e, sendo simétricos (opostos), teremos uma equação recíp-
roca de 2a espécie.
(a) Se y = x +
1
x
calcule, em função de y , as expressões x 2+
1
x 2
e x 3+
1
x 3
.
(b) Determine todas as raízes reais da equação abaixo: x 2−5x +8− 5
x
+
1
x 2
= 0.
(c) Determine todas as raízes reais de x 6−2x 5−5x 4+12x 3−5x 2−2x +1= 0.
28. Resolva a equação
x 4−97x 3+2012x 2−97x +1= 0.
29. Sejam x1 e x2 as raízes da equação x
2+a x +
a 2−1
2
= 0. Ache x 31 + x
3
2 .
30. Sejam a , b , c , a 6= 0, tais que a e 4a + 3b + 2c têm o mesmo sinal. Mostre que a
equação a x 2+ b x + c = 0 não pode ter duas raízes no intervalo (1, 2).
31. Determine todos os números reais a para os quais as raízes da equação x 2−a x+a = 0
são números inteiros.
32. Considere o trinômio do segundo grau p (x ) = x 2− x +1.
(a) Determine o número de soluções reais distintas da equação p (x 2) = x 2, isto é,
(x 2)2− (x 2)+1= x 2.
(b) Determine o número de soluções reais distintas da equação
p (p (x )) = p (x ).
33. Sejam a e b números reais não nulos tais que a equação x 2 + a x + b = 0 possui
soluções a e b . Determine a − b .
34. Sejam p e q números reais satisfazendo as relações 2p 2− 3p − 1= 0 e q 2 + 3q − 2= 0
e p q 6= 1. Ache o valor de p q +p +1
q
.
35. Sejam r e s números inteiros. Sabe - se que a equação do segundo grau
x 2− (r + s )x + r s +2010= 0
tem as duas soluções inteiras. Quantos são os possíveis valores de |r − s |?
36. Observe:
(x − r )(x − s ) = x 2− (r + s )x + r s .
Assim, substituindo x por r e s , obtemos
7
§
r 2 − (r + s )r + r s = 0
s 2 − (r + s )s + r s = 0 ⇒
§
a (r n+2 − (r + s )r n+1 + r s · r n ) = 0
b (s n+2 − (r + s )s n+1 + r s · s n ) = 0
Somando as duas equações e sendo Sn = a · r n + b · s n , verifica - se que
Sn+2= (r + s )Sn+1− r sSn .
Dados S1 = a r + b s = 1, S2 = a r
2 + b s 2 = 2, S3 = a r
3 + b s 3 = 5 e S4 = a r
4 + b s 4 = 6,
determine S5 = a r
5+ b s 5.
37. Os números α e β são as raízes da equação x 2− x −1= 0. Calcule 13 ·α5+5 ·β 7.
38. Sejamα eβ as raízes da equação quadrática (x−2)(x−3)+(x−3)(x+1)+(x+1)(x−2) =
0. Determine o valor de
1
(α+1)(β +1)
+
1
(α−2)(β −2) +
1
(α−3)(β −3) .
39. Determine o maior número real x tal que
� x
x −1
�2
+
� x
x +1
�2
=
325
144
.
40. Sejam x1 e x2 as raízes da equação x
2+3x +1= 0. Determine o valor de
�
x1
x2+1
�2
+
�
x2
x1+1
�2
.
41. Sejam b e c inteiros positivos tais que as raízes reais x1 e x2 da equação quadrática
2x 2+ b x + c = 0 satisfazem x1− x2 = 30. Determine o menor valor possível de b + c .
42. Sejam m e n inteiros tais que 9+
p
11 é uma raiz de x 2 +m x + n = 0. Determine o
valor de m +n .
43. Sejam m e n inteiros positivos tais que x =m +
p
n é uma raiz da equação x 2−10x +
1=
p
x (x +1). Determine m +n .
44. Se os coeficientes da equação quadrática
a x 2+ b x + c = 0
são números inteiros ímpares, prove que as raízes da equação não podem ser números
racionais.
8
45. Ao calcular as raízes da equação de segundo grau x 2−m x +m+5= 0, Samuca perce-
beu que elas eram os catetos de um triângulo retângulo com hipotenusa de compri-
mento 5. A soma dos possíveis valores de m é:
(a) 2 (b) 12 (c) 7 (d) 10 (e) 8
46. As equações do 2◦ grau 2007x 2+ 2008x + 1= 0 e x 2 + 2008x + 2007= 0 têm uma raiz
comum. Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns?
(a) 0 (b) 1 (c) 2007 (d) 2008 (e) 2009
47. (EsPCEx) Determinar k e m de modo que sejam nulas as raízes da equação
m (x 2 − x +1)+k x = x −m2+2.
48. (CN) Determine o valor de k na equação
x 2+ (k −2)x +k 2−4= 0,
para que a mesma só tenha uma única raiz nula.
49. (EsPCEx) Para que a equação x 2 = 4x + k 2 − 9
25
admita somente uma raiz nula, é
necessário que k seja igual a:
(a) k =±3
5
. (b) k =
9
25
. (c) k = 0. (d) k =±1. (e) k =±5.
50. (M. MERC) O maior valor inteiro de m que torna as raízes da equação x 2−3x+m−1=
0 reais e desiguais é
(a) m = 5. (b) m = 1. (c) m = 3. (d) m =−1. (e) m =−3.
9