18. (FUVEST 2015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa...

a) Para encontrar cos θ, precisamos encontrar o comprimento de BH. Como AB = 1, temos que BH = AB√2 = √2. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BMH, temos: BM² + BH² = MH² x² + 2 = (1 + √2)² x² + 2 = 3 + 2√2 x² = 1 + 2√2 BM = √(x² + BM²) = √(x² + 3 + 2√2) Agora podemos encontrar cos θ usando o produto escalar: cos θ = (BM · MH) / (BM · BH) cos θ = [(x² + 3 + 2√2) - x(1 + √2)] / [(x² + 3 + 2√2)^(1/2) · √2] cos θ = (3 + 2√2 - x√2) / [(x² + 3 + 2√2)^(1/2) · √2] b) O ângulo θ é obtuso quando cos θ < 0. Substituindo a expressão de cos θ encontrada em a), temos: 3 + 2√2 - x√2 < 0 x > (3 + 2√2) / √2 x > 2 + √2 Portanto, para x > 2 + √2, o ângulo θ é obtuso. c) Se x = 4, temos: cos θ = (3 + 2√2 - 4√2) / [(4² + 3 + 2√2)^(1/2) · √2] cos θ = (3 - 2√2) / [(19 + 2√2)^(1/2) · √2] cos θ ≈ 0,382 < 1/√2 Como cos θ < 1/√2, temos que θ mede menos do que 45°.