O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, estão a distancia do ...

Podemos utilizar a geometria espacial para resolver essa questão. Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento AB, que é o ponto P. Como o cubo tem todas as arestas iguais, temos que o segmento AB tem comprimento a. Portanto, o ponto P está a uma distância a/2 do ponto A e do ponto B. Agora, vamos encontrar a diagonal do quadrado ABCD. Como o cubo tem todas as arestas iguais, temos que o segmento AB é perpendicular ao segmento AD e tem o mesmo comprimento. Portanto, o triângulo retângulo APD é isósceles e a diagonal do quadrado ABCD é igual a √2 vezes o comprimento do segmento AP. Como o ponto M é o ponto médio do segmento AE, temos que o segmento MP é paralelo ao segmento AB e tem comprimento a/2. Portanto, o ponto P está a uma distância a/2 + a/2√2 do ponto M. Finalmente, vamos encontrar a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD. Como o ponto M está no plano que contém o quadrado ABCD, essa distância é igual à distância do ponto M ao ponto P menos a metade da diagonal do quadrado ABCD. Portanto, temos: distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD = a/2 + a/2√2 - (a/2√2)/2 = a/2 + a/4 = 3a/4 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2a/3.