7. (ITA-85) Seja f: ℜ→ℜ uma função satisfazendo f(x + αy) = f(x) + αf(y) para todo α, x, y ∈ ℜ. Se {a1, a2, a3, …, an} é uma progressão aritmétca d...
a) é uma progressão aritmética de razão d.
b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo primeiro é a1.
c) é uma progressão geométrica de razão f(d).
d) é uma progressão aritmética de razão f(d).
e) Nada se pode afirmar.
💡 1 Resposta
Ed 
A resposta correta é a letra d) é uma progressão aritmética de razão f(d). Para provar isso, podemos usar o fato de que {a1, a2, a3, ..., an} é uma progressão aritmética de razão d, o que significa que a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + 2d, e assim por diante, até an = a1 + (n-1)d. Agora, podemos aplicar a propriedade dada na função f(x + αy) = f(x) + αf(y) para obter: f(a2) = f(a1 + d) = f(a1) + f(d) f(a3) = f(a2 + d) = f(a2) + f(d) = f(a1) + 2f(d) ... f(an) = f(a1 + (n-1)d) = f(a1) + (n-1)f(d) Portanto, temos que (f(a1), f(a2), f(a3), ..., f(an)) é uma progressão aritmética de razão f(d).
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