Lista 1_ PA e PG

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LISTA PA e PG 
 
 
Prof. Joãozinho 
 
1 
1. A soma de três números positivos em progressão aritmética é 
30. Se esses números forem aumentados de 1, 4 e 14, 
respectivamente, os novos números estarão em progressão 
geométrica. Achar esses números. 
 
2. A soma dos 4 termos do meio de uma progressão aritmética de 
12 termos é 74. O produto dos extremos é 70. Qual é a 
progressão? 
 
3. O último termo de uma progressão aritmética é 19; o primeiro 
termo, a razão e o número de termos são números 
consecutivos. Formar a progressão. 
 
4. A sucessão S dos números 1, 5, 13, 25,..., ak, ..., possui a 
propriedade de que as diferenças d k = ak+1 - ak, com k = 1, 2, 
3,... formam uma progressão aritmética. O 30° termo de S é: 
a) 120 d) 1741 
b) 117 e) impossível de ser calculado. 
c) 871 
 
5. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três 
primeiros termos são 1 – a, – a, √11 � �. O quarto termo 
desta PA é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
6. Os números reais sen π/12, sen a e sen 5π/12 formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: 
a) 1/4 b) 6/3 c) 4/2 
d) 4/6 e) 2/3 
 
7. (ITA-85) Seja f: ℜ→ℜ uma função satisfazendo f(x + αy) = 
f(x) + αf(y) para todo α, x, y ∈ ℜ. Se {a1, a2, a3, …, an} é uma 
progressão aritmétca de razão d, então podemos dizer que 
(f(a1), f(a2), f(a3), …, f(a4) 
a) é uma progressão aritmética de razão d. 
b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo 
primeiro é a1. 
c) é uma progressão geométrica de razão f(d). 
d) é uma progressão aritmética de razão f(d). 
e) Nada se pode afirmar. 
 
8. (ITA-97) Os números reais x, y e z formam, nesta ordem, uma 
progressão aritmética de razão r. Seja a um número real com 
a > 0 e a ≠ 1 satisfazendo 3ax + 2ay – az = 0. Então r é igual a: 
a) a2 b) (1/2)a c) log2a 4 
d) loga (3/2) e) loga 3 
 
9. Mostre que se a, b e c formam uma PA de termos positivos, 
então os números 
1
,
b c+
 
1
c a+
 e 
1
a b+
 
também formam uma PA. 
 
10. Generalize o resultado anterior, ou seja, prove que se 
��, ��, ��, … , �
 formam uma PA de termos positivos, então 
1
√�� � √��
�
1
√�� � ���
�⋯�
1
��
�� � ��
�
� � 1
√�� � ��
 
11. Mostre que se, nesta ordem, os números �����,	����� e	���
�, 
com x ≠ 1, formam uma PA, então k
log m2n (kn) .= 
 
12. (IME 2002) Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são 
múltiplos de 6 ou de 14, mas não de simultaneamente múltiplos de 
ambos. 
 
13. (IME 1999) Determine as possíveis PA´s para as quais o resultado 
da divisão da soma de seus n primeiros termos pela soma de seus 
2n primeiros termos seja independente de n. 
 
14. (IME 1965) Determine a relação que deve existir entre os números 
m, n, p e q, para que se verifique a seguinte igualdade entre os 
termos da mesma progressão aritmética: m n p qa a a a .+ = + 
 
15. Provar que se uma PA apresenta m na x,a y= = e pa z,= então 
verifica-se a relação: (n p)x (p m)y (m n)z 0.− + − + − = 
 
16. (ITA 66) Quantos números inteiros existem entre 1000 e 10000, não 
divisíveis nem por 5 nem por 7? 
 
17. Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200. 
 
18. Calcular o primeiro termo e a razão de uma PA cuja soma dos n 
primeiros termos é 2n 4n+ para todo n natural não nulo. 
 
19. (ITA 58) Provar que se uma PA é tal que a soma de seus n primeiros 
termos é igual a n 1+ vezes a metade do n-ésimo termo então 
1a r.= 
 
20. (ITA 80) Considere a PA ���, ��, ��, … , �
� de n termos, n > 1, 
cuja soma de seus termos é K. A soma da sequência dos n valores 
��� , ��, ��, … , �
� definidos por i iy ax b,= + para i de 1 a n, 
onde a e b são números reais com a não nulo, é dada por: 
A. ( ) K B. ( ) aK + b 
C. ( ) aK + nb D. ( ) anK + nb 
E. ( ) anK 
 
21. O primeiro termo de uma PA de inteiros consecutivos é �� � 1. 
Calcule a soma dos 2k+1 primeiros termos. 
 
22. A soma dos n primeiros termos de uma PA de razão 2 é 153. Se o 
primeiro termos é inteiro, determine os possíveis valores de n. 
 
23. Qual o número x que deve ser somado a: a – 2, a e a + 3, Para que 
se tenha nesta ordem, três números em PG? 
 
24. Que tipo de progressão constitui a sequência: �����, ����� �
��, ����� � 2��, … , ����� � ���, … � com ���� 0. 
Determine todos os parâmetros para caracterizar tal progressão. 
 
25. Numa progressão geométrica de 6 termos, a soma dos termos de 
ordem ímpar é 182 e a soma dos termos de ordem par é 546. 
Determinar tal progressão. 
 
 
 
 
 2 
26. (IME 66) A soma de três números que formam uma PA crescente 
é 36. Determine esses números, sabendo que se somarmos 6 
unidades ao último, eles passaram a constituir uma PG. 
 
27. Provar que se (a,b, c) é uma PG, então: (x + y + z)(x – y + z) = x2 
+ y2 + z2. 
 
28. Provar que se a, b e c, nesta ordem, formam uma PA e uma PG 
então a=b=c. 
 
29. Prove que se (a, b, c, d) é uma PG então: (b – c)2 + (c – a)2 + (d – 
b)2 = (a – d)2 . 
 
30. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números 
inteiros e estão em PG tal que seu produto é 1728. Calcular as 
medidas dos lados deste triângulo. 
 
31. (ITA 59) Dada uma PG finita ���, ��, ��, … , ��"� de modo que 
�� � 2 e �� � 6, pergunta-se se é correta a igualdade 
���"�
$
% � 3 ∙ 2
$
%. 
 
32. Provar que se a, b, c são os elementos de ordem p, q e r, 
respectivamente, da mesma PG, então �(�)*)�+,+�( � 1. 
 
33. Sendo a e b dados, determinar x e y tais que (a, x, y, b) seja uma 
PG. 
 
34. a) Calcular a soma - � log� � � log� 2� � log� 4� � ⋯�
log� 2)�. 
b) Qual o valor de a se S = n + 1? 
 
35. Uma sequência é tal que: 
• Os termos de ordem par são ordenadamente as potências de 
2 cujo expoente é igual ao índice do termo, isto é, ��
 � 2�
 
para todo � ≥ 1. 
• Os termos de ordem ímpar são ordenadamente as potências 
de -3 cujo expoente índice do termo, isto é, ��
�� �
��3��
�� para todo � ≥ 1. 
Calcular o produto dos 55 termos iniciais dessa sequência. 
 
36. Se a e q são números reais não nulos, calcular a soma dos n 
primeiros termos da 34��, �5�, �56, �57, … �. 
 
37. (ITA 53) Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, 
consideremos os quadrado Q2, Q3,..., Qn tais que os vértices de 
cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado 
anterior. Calcular então a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, 
Q3,..., Qn. 
 
38. Provar que em toda PG -
� � -�
� � -
�-�
 � -�
�. 
 
39. (ITA94) Seja ���, ��, ��, … , �
� uma PG com um número ímpar 
de termos e razão q >0. O produto de seus termos é 225 e o termo 
central é 25. Sabendo que a soma dos n – 1 primeiros termos é 
2(1 + q)(1 + q2), obter a1, q e n. 
 
 
 
 
 
 
 
40. (IME 2003) Calcular a soma das áreas delimitadas pelos lados dos 
quadrados e pelas circunferências, formados infinitamente a partir da 
figura abaixo, tal que o raio da maior circunferência é R. 
 
 
41. Prove que a razão de uma progressão geométrica em que 3 termos 
consecutivos são os lados de um triângulo retângulo é dada pela 
expressão: q =
+1 5
2
. 
42. Em um conjunto de quatro números os três primeiros estão em 
progressão geométrica e os três últimos estão em progressão 
aritmética com razão 6. O primeiro número é igual ao quarto. Ache a 
soma desses números. 
 
43. Calcular todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números 
 
sen
, sen ,
x
x tgx
2
 formem uma P.G. 
 
44. Um químico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por 
água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água 
novamente. Após efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente 
quantos litros de álcool sobram na mistura? 
a) 2,35 b) 2,85 c) 1,75 d) 1,60 e) 1,15 
 
45. Seja ( )an uma progressão geométrica cuja soma dos n 
primeiros termos é Sn
n= −3 2 3( ) . Determine o quarto 
termo dessa progressão. 
 
46. Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 
10. O logaritmo decimaldo produto de seus termos vale 36. Ache a 
razão da progressão. 
 
47. Se r é a razão de uma progressão geométrica cuja soma dos n 
primeiros termos é S e o primeiro termo é a , é CORRETO afirmar 
que r é raiz do polinômio: 
a) Saxxxxp nn −++++= −− 1...)( 21 . 
b) aSxxxxp nn /1...)( 21 +++++= −− . 
c) aSxxxxp
nn
/1...)(
21
−++++=
−−
. 
d) Saxxxxp nn +++++= −− 1...)( 21 . 
e) aSxxxxp nn ++++++= −− 1...)( 21 
 
48. O limite da soma 
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
32 3 4 5 6
+ + + + + +... é igual 
a: 
a) 3/8 b) 1/2 c) 5/8 d) 2/3 e) 1 
 
 
 3 
49. Se 
1 1 1 1 12
2b
b
b
b
b
b
b b
n
+
−
+
−
+ +
−
+ =
( )
...
( )
... , sobre o 
valor de b podemos afirmar que: 
a) |b| = 1 b) b = 4 c) b ≥ 2 d) b < 0 e) 0 < b < 2 
 
50. Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual 
a 2 . Se o produto dos termos desta progressão é 239, então o 
número de termos é igual a: 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 
 
51. A sequência an é uma PA estritamente crescente, de termos positivos. 
Então, a sequência n
a
nb 3= , n ≥ 1, é uma: 
a) PG crescente b) PA crescente 
c) PG decrescente d) PA decrescente 
e) sequência que não é uma PA e não é uma PG 
 
52. Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e razão 
q2, onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão 
geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso: a) 
Determine o primeiro termo b2 em função de q. b) Existe algum valor 
de n para o qual an = bn? C) Que condição n e m devem satisfazer 
para que an = bm? 
 
53. Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual 
cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos 
imediatamente anteriores. 
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão. 
b) Supondo que o primeiro termo seja 
1 5
2
−
 e q > 0, calcule a 
soma dos três primeiros termos dessa progressão. 
 
54. Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos 
os quadrados Q2, Q3, Q4, ..., Qn tais que os vértices de cada quadrado 
sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcular, 
então, a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3, ..., Qn. 
 
55. O produto dos termos da seguinte P.G.: – 3 , 3, – 3 3 , …, –81
3 é: 
a) – 325 b) – 342 c) – 5 39. 
d) – 345 e) N.d.r.a. 
 
56. A seguinte soma log 1/2 + log 1/4 + ... + log 1/2n com n natural, 
é igual a: 
a) log (n + n3)/2 d) 
( )n2
2
1
2
2
−
 
b) (n + n2) log 
1
2
 e) N.d.r.a. 
c) – n(n + 1)2 log 2 
 
57. Consideremos a função ∑
∞
=
=
1
)()(
n
nsenxxS , onde 0 < x < π/2. 
Para que valores de x: 10 ≤ S(x) ≤ 20? 
a) arc sen 9/10 ≤ x ≤ arc sen 19/20 
b) arc sen 10/9 ≤ x ≤ arc sen 20/19 
c) arc sen 10/11 ≤ x ≤ arc sen 20/21 
d) arc sen 2 /2 ≤ x ≤ arc sen 3 /2 
e) n. d .a. 
 
58. (ITA-74) Seja a > 0 o 1° termo de uma progressão aritmética de razão 
r e também uma progressão geométrica de razão q r
a
= 2
3
3
. A 
relação entre a e r para que o 3° termo da progressão geométrica 
coincida com a soma dos 3 primeiros termos da progressão aritmética 
é: 
a) r = 3a b) r = 2a c) r = a d) r = a2 e) n.r.a. 
 
59. (ITA-79) Considere uma progressão geométrica, onde o primeiro 
termo é a, a > 1, a razão é q, q > 1, e o produto dos seus termos é c. 
Se loga b = 4, logq b = 2 e logc b = 0,01, quantos termos tem esta 
progressão geométrica? 
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 
 
60. Sejam os números reais x > 0, a > b > 1. Os três números reais 
 x x b bxa a, log , log ( ) 
são, nesta ordem, os três primeiros termos de uma progressão 
geométrica infinita. A soma S desta progressão vale: 
a) S = 2x/(1 – loga b) 
b) S = (x + 1)/(1 – 1/2loga b) 
c) S = 1/(1 – √loga b) 
d) S = 1/(1 – √loga b) 
e) Impossível determinar S pois é finito.