Sejam 1r , 2r e 3r números reais tais que 1 2r r e 1 2 3r r r  são racionais. Das afirmacoes: a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I...

A partir das informações dadas, podemos afirmar que: I. r é um número racional. II. r é um número irracional. III. r é um número inteiro. A única afirmação verdadeira é a alternativa A) apenas I. Para justificar essa resposta, podemos utilizar a seguinte estratégia: Se 1/(2r) - r e 1/(2*3r) + r + r são racionais, então podemos escrever: 1/(2r) - r = a/b e 1/(2*3r) + r + r = c/d, onde a, b, c e d são números inteiros. Isolando r na primeira equação, temos: r = (a/b - 1/(2r))/2 Multiplicando ambos os lados por 2r, temos: 2r^2 = a - b/(2r) Isolando r na segunda equação, temos: r = (d/(2*3r) - c/d)/2 Multiplicando ambos os lados por 2*3r, temos: 6r^2 = d/(2c) - 1 Agora, podemos somar as duas equações: 2r^2 + 6r^2 = a - b/(2r) + d/(2c) - 1 8r^2 = (2ac - bd)/(bc) Como a, b, c e d são inteiros, então 2ac - bd e bc são inteiros. Portanto, r^2 é um número racional. Como r^2 é racional, então r também é racional. Logo, a única afirmação verdadeira é a alternativa A) apenas I.