É dado 1 2cos x x    ; demonstre que m m 1 2cos m x x   .

Para demonstrar que m m 1 2cos m x x   , podemos utilizar a identidade trigonométrica: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) Substituindo a = x e b = m, temos: cos(x + m) = cos(x)cos(m) - sen(x)sen(m) Multiplicando ambos os lados por 2cos(x), temos: 2cos(x)cos(x + m) = 2cos(x)cos(x)cos(m) - 2cos(x)sen(x)sen(m) Reorganizando os termos, temos: 2cos(x)cos(x + m) + 2sen(x)sen(m) = 2cos(x) + 2cos(x)cos(m) Substituindo x por θ, temos: 2cos(θ)cos(θ + m) + 2sen(θ)sen(m) = 2cos(θ) + 2cos(θ)cos(m) Dividindo ambos os lados por 2, temos: cos(θ)cos(θ + m) + sen(θ)sen(m) = cos(θ) + cos(θ)cos(m) Substituindo 1/2 por cos²(θ/2) e simplificando, temos: 1/2[cos(m) + 1] = 1/2[1 + cos(θ)][1 + cos(m)] Multiplicando ambos os lados por 2, temos: cos(m) + 1 = (1 + cos(θ))(1 + cos(m)) Expandindo o lado direito, temos: cos(m) + 1 = 1 + cos(θ) + cos(m) + cos(θ)cos(m) Simplificando, temos: cos(θ)cos(m) = cos(θ) + 1 Substituindo 2cos(x) por 1 + cos(2x), temos: 2cos(θ)cos(m) = 2cos(θ) + 2 Dividindo ambos os lados por 2, temos: cos(θ)cos(m) = cos(θ) + 1 Portanto, m m 1 2cos m x x   .