Lista_09_-_Complexos_2

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LISTA 9: COMPLEXOS (ITA/IME) 
 
 
 
Prof. Rodrigo 
 
1 
1. (ITA-1974) A equação nx  1 0 , onde n é um número natural maior 
do que 5, tem: 
a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas quando n é 
par. 
b) 1 raiz positiva, (n – 1) raízes não reais quando n é par. 
c) 1 raiz negativa, (n – 1) raízes complexas quando n é ímpar. 
d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas quando n é 
um número natural qualquer. 
e) nda 
 
2. (ITA-1974) Seja zk um número complexo, solução da equação: 
 z z ,k , , , ,   
5 51 0 0 12 3 4 . Podemos afirmar que: 
a) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma circunferência. 
b) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo 
real. 
c) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo 
imaginário. 
d) a equação não admite solução 
e) nda 
 
3. (ITA-1975) Se z1, z2, z3, z4 e z5 são as raízes da equação 
 z z  
5 51 0 , e se Re(z) indica a parte real de z então podemos 
afirmar que: 
a) Re(zk) = 0 para x = 1, 2, 3 e Re(zi) = 1, para i = 4, 5. 
b) Re(zk) = - ½ para x = 1, 2, 3, 4, 5. 
c) z1, z2, z3, z4, z5 são números reais (não-complexos). 
d) Re(zk) = 2, para k = 1, 2, 3 e Re(zi) = 0, para i = 4, 5. 
e) nda 
 
4. (ITA-1975) Se z1 e z2 são números complexos tais que z1 + z2 e z1.z2 
são ambos reais. Então podemos afirmar que: 
a) z1 e z2 são ambos reais ou z1 = z2. 
b) z1 e z2 são números complexos não-reais. 
c) z1 e z2 são números reais irracionais. 
d) z1 é um número complexo puro e z2 é um número real. 
e) nda 
 
5. (ITA-1976) Suponhamos que z1 = a + xi e z2 = a + yi, a  0, x  0 são 
dois números complexos, tais que z1 . z2 = 2. Então temos: 
a)   1 2 1 2z z e z z 2 
b)   1 2 1 2z z e z z 2 
c)   1 2 1 2z z e z z 2 
d)    2 21 2z z 2a e a y 4 
e) nda 
 
6. (ITA-1978) O lugar geométrico, no plano complexo, representado pela 
equação: z z z z z z k      0 0 0 , onde k é um número real 
positivo e l (z0)2 l > k, é: 
a) uma hipérbole com centro em z0. 
b) uma elipse com um dos focos em z0. 
c) uma circunferência com centro em z0. 
d) uma parábola com vértice em z0. 
e) nda 
7. (ITA-1978) Seja z um número complexo. Se z
z

1
 é um número real, 
então podemos afirmar com certeza que: 
a) z  0 e Re(z)  0. b) Im(z) = 0 ou l z l = 1 
c) z é real. d) z2 = -1 e) nda 
 
8. (ITA-1979) Estudando a equação  z z 
5532 1 no plano 
complexo, podemos afirmar que: 
a) a equação possui todas as raízes imaginárias, situadas numa 
circunferência de raio 1. 
b) a equação possui 4 raízes imaginárias situadas uma em cada 
quadrante. 
c) a equação possui 2 raízes imaginárias, uma no 1o quadrante e uma 
no 4o quadrante. 
d) a equação possui 4 raízes imaginárias, duas no 2o quadrante e outras 
duas no 3o quadrante. 
e) A equação possui 4 raízes imaginárias, sendo duas no 1o quadrante e 
outras duas no 4o quadrante. 
 
9. (ITA-1980) Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento . 
Se n é um número inteiro positivo, n
n
z
z

1
 é igual a : 
a) cos (n) b) 2 cos (n) c) sen (n) d) 2 sen (n) 
e) sen (n) + cos (n) 
 
10. (ITA-1981) Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De 
todos os números complexos z que satisfazem a relação 
 z ai ak  , qual é o de menor argumento? 
a)     2 2z ak 1 k ia 1 k
 
b)     2 2z k 1 k ia 1 k 
c) 
 
    
 
2 2z k 1 k i 1 k d)      2 2z k 1 k ia 1 k 
e)  z a ik 
 
11. (ITA-1981) O conjunto A definido por        A z , z i z i 4 , 
representa no plano complexo: 
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos i e –i. 
b) Uma circunferência de centro no ponto (0;1) e raio 2. 
c) Uma circunferência de centro no ponto (0;0) e raio 4. 
d) um par de retas que se cortam no ponto (1,1). 
e) nda 
 
12. (ITA-1983) Consideremos um número complexo z tal que 
2z
z . i
 tem 
argumento igual a /4 e    2log z z 2 3 . Nestas condições 
podemos afirmar : 
 
a) Não existe ln 
 
 
 
 
z z
i
 b) z4 + ln 
 
 
 
 
z z
i
 = - 324 
c) z + 2 z é um número real. d) (1 / z)3 = 1 / 108 (1 + i) 
e) (1 / z)3 = -1 / 108 (1 + i) 
 
13. (ITA-1984) Sabendo-se que n é um número natural tal que 
n( 3 i)
3i

é um número real, podemos afirmar que: 
a) n = 6k, k = 1, 2, 3, … 
b) n = 3 (2k + 1), k = 0, 1, 2, 3 … 
c) n = 3k, k = 0, 1, 2, 3 … 
d) n = k, k = 1, 2 , 3 … 
e) não existe valor de n natural tal que o número dado seja real. 
 
 
 
 
2 
14. (ITA – 1985) Seja a um número real. Os valores de z  C que 
satisfazem: 
    
   
    
   
10 10a z a (z)
 . 
1 i 1 i
 são: 
a)    10z a a i b) não é possível determiná-los 
c) - i 10i a d) não existe z tal que isso aconteça 
e) Todo z . 
 
15. (ITA – 1986) No conjunto C dos números complexos seja a tal que 
|a| < 1. O lugar geométrico dos pontos z  C que satisfazem a 
igualdade  

z a
1
1 az
 é: 
a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1. 
b) Uma hipérbole 
c) Uma parábola. 
d) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 1. 
e) formado por duas retas concorrentes. 
 
16. (ITA-1987) Seja S a coleção de todos os números complexos z, que 
são raízes da equação z z i  1 2 , onde i é a unidade imaginária. 
Então, podemos garantir que: 
a) S = { 3/2 – 2i } b) S = { ½ + 2i, - ½ -2i } 
c) S = { ½ + 4k; k = 1, 2,...} d) S = { ¼ + 3i } 
e) S = { 1 + 2 ki; k = 1, 2, 3, .... } 
 
17. (ITA-1987) A soma de todas as raízes da equação z3 – 1 = 0 é: 
a) 1 b) 2 c) 0 d) 2 2i e) 2 3i 
 
18. (ITA-1987) Seja N o número de soluções reais da equação 
senx i 2 3 . Então, temos: 
a) N > 50 b) N = 0 c) N = 2 d) N = 1 e) 2 < N < 10 
 
19. (ITA-1987) Considerando z e w números complexos arbitrários e 
   u z w z w , então o conjugado de u será necessariamente: 
a) igual a lzl.lwl 
b) um número imaginário puro. 
c) igual ao dobro da parte real de z + w. 
d) igual ao dobro da parte real de z.w. 
e) diferente de u. 
 
20. (ITA-1988) Seja a equação z a bi  4 0 , onde a e b são reais 
não nulos. Sobre as raízes dessa equação podemos afirmar que 
a) uma delas é um imaginário puro. 
b) os seus módulos formam uma progressão aritmética de razão 
4 l a bi l . 
c) o seu produto é um imaginário puro. 
d) cada uma tem um argumento igual a [ arg (a + bi) / 4 ]. 
e) sua soma é zero. 
 
21. (ITA-1988) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = – 16i, onde i 
é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: 
a) 6 b) 3 c) 7 d) 4 e) não existe n. 
 
22. (ITA-1989) O valor da expressão   
2 2
1 z 1 z , sendo z um 
número complexo, é: 
a) 5, se l z l  1 b) 4, se l z l = 1 c) 0, se Im(z) = 0. 
d) 2, para todo z. e) 3, se Re(z) = 0. 
 
23. (ITA-1989) Considerando que a imagem da função arc sen é o 
intervalo: [ -/2 ; /2 ] e i =  2i 1, podemos garantir que
 
   
1 xi
arcsen
1 xi
 está definida: 
a) apenas para x = 0 e vale /2. 
b) para todo x  R e vale /2. 
c) apenas para x  R tal que l x l < 1 e seu valor depende do valor de x. 
d) apenas para x  R tal que x  1 e seu valor é . 
e) apenas para x  R tal que x  -1 e seu valor depende do valor de x. 
 
24. (ITA-1989) O produto dos números complexos z = x + yi, que têm 
módulo igual a 2 e se encontram sobre a reta y = 2x – 1 contida no 
plano complexo, é igual a: 
a) 6/5 – 8/5 i b) 4/5 – 2/5 i c) – 8/5 – 8/5 i 
d) 2 + 2i e) não existe nenhum complexo nessas condições . 
 
25. (ITA-1990) Considere as equações z i3 e  z i z i   2 2 2 0
onde z é complexo. Seja S1 o conjunto das raízes da primeira equação e 
S2 o da segunda. Então: 
a) S1  S2 é vazio. b) S1  S2  R. 
c) S1  S2 possui dois elementos d) S1  S2 é unitário. 
e) S1 possui apenas 2 elementos distintos. 
 
26. (ITA-1990) A igualdade   1 z 1 z , onde z , é satisfeita: 
a) para todo z  C tal que Re(z) = 0 e Im(z) < 0. 
b) para todo z  C tal que Re(z)  0 e Im(z) = 0. 
c) para todo z  C tal que Im(z) = 0. 
d) para todo z C tal que l z l = 1. 
e) para todo z  C tal que l z l < 1. 
 
27. (ITA-1991) Sejam w = a + bi com b  0 e a, b, c  R. O conjunto dos 
números complexos z que verificam a equação wz + wz + c = 0, 
descreve: 
a) um par de retas paralelas. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma reta com coeficiente angular m = a / b. 
e) nda 
 
28. (ITA-1991) Se z cos t isent  , onde 0 < t < 2 , então podemos 
afirmar que w = 


1 z
1 z
 é dado por: 
a) 
t
icot g
 
 
 2
 b) 
t
i t g
 
 
 2 
c) i cot gt d) i t gt e) nda 
 
29. (ITA-1992) Considere o número complexo z = a + 2i cujo argumento 
está no intervalo (0, /2). Sendo S o conjunto dos valores de a para os 
quais z6 é um número real, podemos afirmar que o produto dos 
elementos de S vale: 
a) 4 b) 
4
3
 c) 8 d) 
8
3
 e) nda 
30. (ITA-1992) Sabe-se que cos isen
     
    
    
2
20 20
é uma raiz 
quíntupla de w. Seja S o conjunto de todas as raízes de

  4 2
w 16 2i
z 2z 0
8 2
. Um subconjunto de S é: 
a) cos isen ; cos isen
               
            
            
1 1
2 2
7 7
2 2
8 8 8 8
 
 
 
 
 
3 
b) cos isen ; cos isen
               
            
            
1 1
2 2
9 9 5 5
2 2
8 8 8 8
 
c) cos isen ; cos isen
               
            
            
1 1
4 4
7 7
2 2
4 4 4 4
 
d) cos isen ; cos isen
               
            
            
1 1
4 4
7 7
2 2
8 8 8 8
 
e) nda 
 
31. (ITA-1993) Seja a o módulo do número complexo  
10
2 2i 3 . 
Então o valor de x que verifica a igualdade (4a)x = a é: 
a) 10/11 b) –2 c) 5/8 d) 3/8 e) 1/5 
 
32. (ITA-1993) Resolvendo a equação  2z 2 z no conjunto dos 
números complexos, conclui-se sobre as suas soluções que: 
a) nenhuma delas é um número inteiro. b) a soma delas é 2. 
c) estas são em número de dois e são distintas. 
d) estas são em número de quatro e são duas a duas distintas. 
e) uma delas é da forma z = bi com b real não nulo. 
 
33. (ITA-1994) Sejam x e y números reais, com x  0, satisfazendo 
   x iy x y i  
2
. 
Então: 
a) x e y são números irracionais. b) x > 0 e y < 0. 
c) x é uma raiz da equação x3 + 3 x2 + 2x – 6 = 0. 
d) x < 0 e y = x. e) x2 + xy + y2 = ½ 
 
34. (ITA-1994) Considere as afirmações: 
(i). (cos  + i sen)10 = cos (10) + i sen (10), para todo   R. 
(ii).  

5i
1 2i
2 i
 
(iii). (1 – i)4 = -4 
(iv). Se z2 = ( z )2, então z é um número real ou um imaginário puro. 
(v). O polinômio 4 3x x x 1   possui apenas raízes reais. 
Podemos concluir que: 
a) todas são verdadeiras. b) apenas quatro são verdadeiras. 
c) apenas três são verdadeiras. d) apenas duas são verdadeiras. 
e) apenas uma é verdadeira. 
 
35. (ITA-1995) Seja z um número no campo complexo satisfazendo 
Re(z) > 0 e ainda  z i z i   
22
6 . Se n é o menor natural para o 
qual zn é um imaginário puro, então n é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
36. (ITA-1995) Sejam z1 e z2 números complexos com z z 1 2 4 . 
Se 1 é uma raiz da equação z z z z    6 31 2 8 0 então a soma das 
raízes reais é igual a 
a) –1 b) –1 + 21/2 c) 1 – 21/3 d) 1 + 31/2 e) –1 + 31/2 
 
37. (ITA-1996) O valor da potência 
93
2
1 i
 
 
  
 é: 
a)
1 i
2
 
 
b)
1 i
2

 
c)
1 i
2
 
 
d)  
93
i 2
 
e)   
93
2 i 
 
38. (ITA-1997) Considere os números complexos z i 2 2 e 
w i 1 3 . Se m = 
2
32
46
 2i - 6 + w+ z 
 4i + 3z + w
, então m vale 
a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1 
 
39. (ITA-1997) Seja S o conjunto dos números complexos que 
satisfazem simultaneamente, às equações: 
z i e z z i     3 3 1 2 . O produto de todos os elementos de 
S é igual a: 
a) 2 i 3  b) 2 2 3 3i c)  3 3 2i 
d) - 3 + 3i e) -2 + 2i 
 
40. (ITA – 1998) Considere, no plano complexo, um polígono regular 
cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. A área deste 
polígono, em unidades de área, é igual a: 
a) 3 b) 5 c)  d) 
2
33
 e) 2 
 
41. (ITA – 1998) Sejam x e y números reais tais que: 






1yyx3
1xy3x
32
23
. 
Então, o número complexo z = x + iy é tal que z3 e |z|, valem 
respectivamente: 
a) 1 – i e 26 b) 1 + i e 
6 2 c) i e 1 d) -i e 1 e) 1 + i e 2
3 
 
42. (ITA – 1999) Sejam ak e bk números reais com k = 1, 2, ..., 6. Os 
números complexos zk = ak + ibk são tais que zk = 2 e bk  0, para todo 
k = 1, 2, ..., 6. Se (a1, a2, ..., a6) é uma progressão aritmética de razão -
1/5 e soma 9, então z3 é igual a: 
a) 2i b) i
5
6
5
8
 c) i3  d) i5
73
5
33


 e) i
5
172
5
24
 
 
43. (ITA – 1999) O conjunto de todos os números complexos z, z  0, 
que satisfazem à igualdade: z i z i    1 1 é: 
a) z : argz k ,k
 
     
 
5
2
4
 
b) z : argz k ,k
 
     
 
2
4
 
c) z : z e argz k ,k
 
      
 
1
6
 
d) z : z e argz k ,k
 
      
 
2 2
4
 
e) z : argz k ,k
 
     
 
2
4
 
 
44. (ITA-2000) Seja z0 o número complexo 1+i. Sendo S o conjunto 
solução no plano complexo de z z z z   0 0 2 , então o produto 
dos elementos de S é igual a: 
a) 4 (1 – i) b) 2 (1 + i) c) 2 (i – 1) d) – 2i e) 2i 
 
45. (ITA-2001) O número complexo 
     
 
  
1 cos 1 2cos 2sen
z i
sen cos sen2
;   ]0,  /2[ 
tem argumento  /4. Neste caso,  é igual a: 
a) 
6
π
 b) 
3
π
 c) 
4
π
 d) 
5
π
 e) 
9
π
 
 
 
 
 
 
4 
46. (ITA-2001) Se z i 1 3 , z w 1 e   [0, 2] é um 
argumento de zw, então  é igual a: 
a) 
3

 b)  c) 
3
2
 d) 
3
5
 e) 
2
3
 
 
47. (ITA-2002) Seja a equação em ℂ 
z4 – z2 + 1 = 0. 
Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes 
dessa equação? 
a) 32 b) 
2
3
 c) 
2
3
 d) –i e) 
i
2
 
 
48. (ITA-2002) Sejam a e b dois números complexos não-nulos, tais 
que a b 2 2 0 . Se z,w  satisfazem 





b8wzwz
a6wzwz
, 
determine o valor de |a| de forma que |zw| = 1. 
 
 
49. (ITA-2003) Seja z  C. Das seguintes afirmações independentes: 
I. Se 
2
2 2
2iz 5z i
1 3z 2iz 3 | z | 2 | z |
 
 
   
, então 
2
2 2
2iz 5z i
1 3z 2iz 3 | z | 2 | z |
  
 
   
. 
II. Se z  0 e 
2iz 3i 3
(1 2i)z
 
 

, então 
2 | z | 3 2
| |
5 | z |

  . 
III. Se 
2(1 i)z
4 3 4i

 

, então 2 arg z + 
12

 é um argumento de . 
é (são) verdadeira(s): 
a) todas. b) apenas I e II. c) apenas II e III. 
d) apenas I e III. e) apenas II. 
 
50. (ITA-2003) Das afirmações abaixo sobre a equação 
z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 
e suas soluções no plano complexo: 
I. A equação possui pelo menos um par de raízes reais. 
II. A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo 
menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1. 
III. Se n  N* e r é uma raiz qualquer desta equação, então 
n k
k 1
r 1
3 2

 . 
É (são) verdadeiras(s): 
a) nenhuma. b) apenas I. c) apenas II. d) apenas III. 
e) apenas I e III. 
 
51. (ITA-2004) Considere a função f :  , 
 f x cosx isenx 2 2 . Então,  x, y  R, o valor do produto 
f(x)f(y) é igual a: 
a) f(x+y) b) 2f(x+y) c) 4if(x+y) d) f(xy) e) 2f(x) = 2f(y) 
 
52. (ITA-2004) Sendo 
1 i
z
2

 , calcule 
6032
60
1
... zzzzz
n
n 
 . 
 
 
53. (ITA-2005) Seja z  C com |z| = 1. Então, a expressão
1 zw
z w


 
assume valor: 
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1. 
b) menor que 1, para todo w com |w| < 1. 
c) maior que 1, para todo w com w  z. 
d) igual a 1, independente de w com w  z.. 
e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|. 
 
54. (ITA-2006) Se para todo  z ,  f z z e
   f z f z  1 1 , então, para todo z , 
       f 1 f z f 1 f z é igual a 
a) 1 b)2z c)2Re(z) d)2Im(z) e)2|z|2 
 
55. (ITA-2006) Se   [0, 2) é o argumento de um número complexo
z  0 e n é um número natural tal que  
n
z
isen n
z
 
   
 
 
, então, é 
verdade que 
a) 2n é múltiplo de 2 b) 2n -  é múltiplo de 2 
c) n - /4 é múltiplo de /2 d) 2n -  é múltiplo não nulo de 2 
e) n - 2 é múltiplo de  
 
 
56. (ITA-2007) Considere a equação: 16 
3
1
1








ix
ix
= 
4
1
1
1
1











i
i
i
i
 
Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa 
equação é 
a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. 
 
57. (ITA-2007) Assinale a opção que indica o módulo do número 
complexo: 
)x(gcoti1
1

,  kx , k . 
a) )xcos( b)   2)x(sen1 c) )x(cos2 
d) )xsec(cos e) )x(sen 
 
 
58. (ITA-2007) Determine o conjunto A formado por todos os números 
complexos z tais que 
z 2z
3
z 2i z 2i
 
 
 e 0 z 2i 1   . 
 
59. (ITA-2008) Determine as raízes em C de z  
64 256 0 , na 
forma a + bi, com a, b ∈ IR, que pertençam a 
 S z ; z    1 2 3 . 
 
60. (ITA-2008) Sejam ,  tais que    1 e    2 . 
Então 2 + 2 é igual a 
a) – 2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 2i 
 
61. (ITA-2010) Os argumentos principais das soluções da equação em 
z:  iz z z z i    
2
3 0 , pertencem a 
a) 
3
, .
4 4
π π 
 
 
 b) 
3 5
, .
4 4
π π 
 
 
 c) 
5 3
, .
4 2
π π 
 
 
 
d) 
3 7
, , .
4 2 2 4
π π π π   
   
   
 e) 
7
0, ,2 .
4 4
π π
π
   
   
   
 
 
 
 
 
 
5 
 62. (ITA-2010) Se z é uma solução da equação em , 
 
12
2 2 1 2 1
z z z 2 i i ,
3 3
   
        
   
 
pode-se afirmar que 
a)i(z – z ) < 0. b)i(z – z ) > 0. c) z [5, 6]. d) z [6, 7]. 
e)  
1
z 8.
z
 
 
63. (ITA-2011) A soma de todas as soluções da equação em : 
22z z iz –1 0   é igual a 
a) 2. b) 
i
.
2
 c) 0. d) 
1
.
2
 e) – 2i. 
 
64. (ITA-2011) Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e 
z2: 
   


  
  
        
1 2 1 2
1 2 22
1
1
1 1 1 1
I) z z z z .
II) z z z z
III) Se z z cos isen 0, então z z cos isen .
é(são) 
sempre verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. 
e) todas. 
 
65. (ITA-2011) 
Sejam n ≥ 3 ímpar,  z \ 0 e z1, z2, ..., zn as raízes de zn = 1. 
Calcule o número de valores i jz z , i, j = 1, 2, ....n, com i ≠ j, 
distintos entre si. 
 
66. (ITA-2011) Dado  
89
n
n 1
1
z 1 3i , então z
2 
    é igual a 
a) 
89
3i.
2
 b) – 1 c) 0 d) 1. e) 
89
3i.
6
 
 
67. (ITA-2012) Sejam e 
, em que n é o menor inteiro positivo tal 
que é real. Então, é igual a 
a) b) c) d) 
e) 
68. (ITA-2012) Se argz
4
π
, então um valor para  arg iz2 é: 
a) 
2
π
 b) 
4
π
 c) 
2
π
 d) 
3
4
π
 e) 
7
4
π
 
 
69. (ITA-2013) A soma das raízes da equação em , 
8 4z 17z 16 0,   tais que z | z | 0,  é 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
70. (ITA-2013) Seja λ solução real da equação 
9 2 17 12.λ λ    Então a soma das soluções z, com 
Re z 0, da equação 
4z 32,λ  é 
a) 2. b) 2 2. c) 4 2. d) 4. e) 16. 
 71. (ITA-2013) Considere a equação em ,  
4
z 5 3i 1.   Se 
0z é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as 
quatro soluções, então o valor de 0| z | é 
a) 29. b) 41. c) 3 5. d) 4 3. e) 3 6. 
 
 72. (ITA-2013) Para z 1 iy,  y 0, determine todos os pares 
 a, y , a 1, tais que 10z a. Escreva a e y em função de 
Arg z. 
 
73. (ITA-2014) 
a) Determine o valor máximo de | z i |, sabendo que 
| z 2 | 1, z .   
b) Se oz  satisfaz (a), determine oz . 
 
74. (ITA-2014) Sejam z, w . Das afirmações: 
I.  2 2 2 2z w z w 2 z w ;     
II.    
2 2
z w z w 4zw;    
III.     
2 2
z w z w 4Re zw , 
é(são) verdadeira(s): 
a) apenas I. b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) todas. 
 
75. (ITA-2014) Se z , então    46 2 2 6z 3 z z z z é 
igual a: 
a)  
3
2 2z z . b) 6 6z z . c)  
2
3 3z z . d)  
6
z z . 
e)    2 4 4z z z z .  
IME: 
1. (IME – 64) A parte real de um número complexo é x 2 2 e a parte 
imaginária 2x . Determine o valor mínimo do módulo desse 
complexo. 
 
2. (IME) Determine os valores máximos e mínimos de z 4 , 
sabendo-se que z i 3 1 . 
 
3. (IME – 69) Determine n natural para que  
n n nx k x k    0 , 
onde k é um real diferente de zero e 
2 i
3x ke

 . 
 
4. (IME – 78) Seja o conjunto  A z : z   1 . Determine a 
imagem de A pela função g, complexa de variável complexa, tal que 
   g z i z i   4 3 5 . 
 
5. (IME – 69/70) Sejam: 
i) A e B números reais, B  0. 
ii) n e k inteiros maiores que zero. 
iii) Para cada n, seja rn a raiz principal (menor determinação) de índice 
n do número i4n + 1 + i4n. 
Admitamos que k
r
e.Be.A
n
4
i..3
i..4




. Determinar o valor de n de tal 
forma que A/B seja mínimo. 
2z n (cos45º i sen 45º) 
w n(cos15º i sen 15º) 
n(1 i)
z
w
3 1 2( 3 i) 2( 2 i) 2( 2 i)
2( 3 i)
 
 
 
 
6 
6. (IME – 70/71) Seja F 15 8i   . Calcule F, escrevendo a 
resposta sob a forma a + b.i, com a e b inteiros. 
 
7. (IME – 70/71) Determine os pontos do plano complexo que 
satisfazem simultaneamente às equações:
z z
z z
   

   
2 4
3 3 10
 
8. (IME – 70/71) Seja  A i

 
2
3 , onde  é um número real, 
inteiro e positivo. Sendo A um número real, calcule o valor de  para 
que as raízes da equação:    i x i y    
2 2
3 0 sejam também 
reais. 
 
9. (IME – 74/75) Considere o conjunto dos números reais e o 
conjunto dos números complexos . Sabendo que a,b ,
1 2z ,z  e que z az b  
2
1 1
0 , e z az b  2
2 2
0 , 
determine a relação 
a
r
b

2
 para que os pontos z1, z2 e z0 = (0, 0) no 
plano complexo formem um triângulo equilátero, esboçando as 
soluções no plano complexo. 
 
10. (IME – 75/76) Considere três números complexos z0, z1 e z2. 
Sabendo que z0  z1  z2 e que 1zzz 32
3
1
3
0
 , calcule 
2
2
2
1
2
0
zzz  . 
 
11. (IME – 74/75) São dados dois números complexos z1 e z2. As 
partes real e imaginária de um complexo são dadas por Re(z) e Im(z). 
Determine z1 e z2, sabendo que: 
1 2
2 2
1 2 2
2 1
z z 5
4z z 15[Re(z )] 0
Re(z ) 4[Re(z )]
  

  
 
 
 
12. (IME – 76/77) Seja f : ; z iz i   2 3 . Seja o conjunto 
x y
A x iy ;
  
     
  
2 2
1
9 4
. Determine o conjunto B imagem de A 
pela função f. 
 
13. (IME – 76/77) Seja z = a + bi (a, b  ). Determine a e b tais que 
z2 = 3 – 4i. 
 
14. (IME – 77/78) Sendo H = {z  C / z8 = 1} e G = {z  C / z12 = 1} e S 
= G  H, determine todos os pares (am, bm)  R2 tais que am + bmi  S. 
 
15. (IME – 78/79) Seja g: C  C a função definida por: 
   g x iy i x iy i    2 3 . Dada a elipse 
x y
E x iy ;
  
     
  
2 2
1
9 4
, determine sua imagem g(E) pela 
função g. 
 
16. (IME – 80/81) Calcule ii. 
 
17. (IME – 81/82) Determine o número complexo z de menor 
argumento tal que z i 30 15 . 
 
18. (IME – 83) É dado
1
2cos x
x
   ; demonstre que 
m
m
1
2cos m x
x
   . 
 
19. (IME – 83/84) Quais as relações entre os coeficientes a, b, c, d da 
equação x2 + 2(a + ib)x + c + id = 0 de modo que ela seja satisfeita 
para um valor real x = k? 
 
20. (IME – 83/84) Sejam C uma constante real positiva e z um número 
complexo. Determine os dois lugares geométricos que satisfazem a 
equação: C
1z
1z


 
 
21. (IME – 84/85) Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, 
respectivamente. Mostre que OP1 e OP2 são perpendiculares se e 
somente se 21zz é um imaginário puro. 
22. (IME – 87/88) Seja z um número complexo. Mostreque 
z
1
z  é 
um número real se e somente se z é um número real ou 1z  . 
 
23. (IME – 88/89) Sejam z e w números complexos tais que |z| = 1 e |w| 
 1. Calcule 
zw1
wz


. 
24. (IME – 88/89) Mostre que todas as raízes da equação 
 (z + 1)5 + z5 = 0 pertencem a mesma reta paralela ao eixo imaginário. 
 
25. (IME – 94) Considere os números complexos z x iy  e 
w y xi  , cujos módulos são tais que 
w
xz e
3
 e 
z
yw e
1
, 
onde e é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de z2. 
 
26. (IME – 95) Dado z = 
24i7
1

, calcule as partes real e imaginária 
de z. 
 
27. (IME – 93) Faça o que se pede: 
a) Calcule o argumento do seguinte número complexo i(1 + i); 
b) Escreva sob forma trigonométrica o número complexo z 1 i 3  
 
28. (IME – 96) Sejam w0 = 1, w1 = j, w2 = j2 as raízes cúbicas da 
unidade no plano complexo (considere w1 o número complexo de 
módulo 1 e argumento )
3
2
. Sabendo que se c  C, a rotação R em 
torno do ponto e amplitude igual a 
3

 é dada por  R z fz jc   , 
 z c   , pede-se: 
a) determinar as relações existentes entre a, b, e c, j, j2, onde a, b,  C 
de modo que o triângulo a, b, c, seja equilátero; 
b) determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. 
Dado: i = 1- 
 
29. (IME – 98) Determine os parâmetros , ,  e  da transformação 
complexa, 





z
z
w , que leva os pontos  z ;i;0 1 para 
 w i; ;10 , respectivamente, bem como, z para w i  2 , onde 
.1i  
 
 
 
 
 
7 
30. (IME – 99) Determine as raízes de z2 + 2iz + 2 – 4i = 0 e localize-as 
no plano complexo, sendo i = 1 
 
31. (IME – 01) Dois números complexos são ortogonais se suas 
representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois 
números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se e somente se: 
0ZZZZ 2121  
Obs.: Z indica o conjugado de um número complexo Z. 
 
32. (IME – 03) Seja z um número complexo de módulo unitário que 
satisfaz à condição z2n  –1, onde n é um número inteiro positivo. 
Demonstre que 
n2
n
z1
z

 é um número real. 
 
33. (IME – 04) Sendo a, b e c números naturais em progressão 
aritmética e z um número complexo de módulo unitário, determine um 
valor para cada um dos números a, b, c e z de forma que eles 
satisfaçam a igualdade: 
9
cba
z
z
1
z
1
z
1
 
34. (IME – 06) 
Sejam      n na i; a r si e a r s r s i, n        1 11 1 
termos de uma sequência. Determine, em função de n, os valores de r 
e s que tornam esta sequência uma progressão aritmética, sabendo 
que r e s são números reais e  2i 1. 
 
35. (IME – 06) Sejam as somas S0 e S1 definidas por 
0 3 6 9 3[ / 3]
0
1 4 7 10 3[( 1) / 3] 3
1
...
...  
     
     
n
n n n n n
n
n n n n n
S C C C C C
S C C C C C
 
Calcule os valores de S0 e S1 em função de n, sabendo que [r] 
representa o maior inteiro menor ou igual ao número r. 
Sugestão: utilize o desenvolvimento em binômio de Newton 
de 
2
1
3
 
 
 
n
cis

 
36. (IME – 07) Sejam z e w números complexos tais que: 
2 2 4 12
2 4
   

  
w z i
z w i
 
onde z e w representam, respectivamente, os números complexos 
conjugados de z e w. O valor de w + z é: 
a) 1 – i b) 2 + i c) -1 + 2i d) 2 -2i e) -2 + 2i 
37. (IME – 08) Sabe-se que 3
1 2
4
z
z z
z
 e 
3 4 3 4z z z z 0    , sendo z1, z2, z3 e z4 números complexos 
diferentes de zero. Mostre que z1 e z2 são ortogonais. 
Observação: números complexos ortogonais são aqueles cuja 
representação gráfica são perpendiculares entre si. 
 
38. (IME – 10) Considere o conjunto de números complexos 
 E a bω  , onde a e b são inteiros e 
 
  
 
2
cis 
3
π
ω . Seja o 
subconjunto  U E / E no qual 1α β αβ     . Determine: 
 
a) Os elementos do conjunto U. 
b) Dois elementos pertencentes ao conjunto Y E U  tais que o 
produto seja um número primo. 
 
39. (IME – 10) Considere o sistema abaixo, em que 1 2 3x , x , x e z 
pertencem ao conjunto dos números complexos. 
 
    

  
    
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 i)x ix ix 0
2ix x x z
(2i 2)x ix ix 0
 
O argumento de z, em graus, para que 3x seja um número real 
positivo é: Obs.: i 1  
a) 0º b) 45º c) 90º d) 135º e) 180º 
 
40. (IME – 11) Sejam 
1z 10 6i  e 2z 4 6i  , onde i é a 
unidade imaginária e z um número complexo tal que 
1
2
z z
arg
z z 4
  
   
, determine o módulo do número complexo 
 z 7 9i  . 
Obs: arg(w) é o argumento do número complexo w. 
 
41. (IME – 12) Seja o número complexo  z a bi, com a,b 
(real) e i 1.  Determine o módulo de z sabendo que 
 
 
3 2
3 2
a 3 1 ab
.
b 3 a b 1
  

  
 
 
42. (IME – 12) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números 
complexos, são representadas por 1, w e w2, onde w é um número 
complexo. O intervalo que contém o valor de  
6
1– w é: 
a) ( , 30]  b)  30, 10   c)  10, 10  d) 10,30 
e) (30, ) 
43. (IME – 13) Seja o número complexo 
 
2
a
z ,
ib 1 ib


 onde a e b 
são números reais positivos e i 1.  Sabendo que o módulo e o 
argumento de z valem, respectivamente, 1 e  – rd,π o valor de a é: 
a) 
1
4
 b) 
1
2
 c) 1 d) 2 e) 4 
 
44. (IME – 13) Considere z1 e z2 complexos que satisfazem a equação 
2x px q 0   , onde p e q são reais diferentes de zero. Sabe-se 
que os módulos de z1 e z2 são iguais e que a diferença entre seus 
argumentos vale , com  não nulo. Determine o valor de 
2cos
2
 
 
 
 em função de p e q. 
45. (IME – 14) Calcule o determinante abaixo, no qual 
2
cis
3
π
ω  e 
i 1  

 
1 0 i
2i 1 i
1 i i 1 1
0 1 i
ω
ω
ω
ω
 
 
46. (IME – 15) O lugar geométrico no plano complexo de  
1
w z
z
, 
sendo z número complexo tal que z k e k 1, é um(a): 
a) segmento de reta b) circunferência c) hipérbole d) elipse 
e) parábola 
 
 
 
 
 
8 
47. (IME – 15) Descreva o lugar geométrico do número complexo z que 
atende à equação      1 2 3arg(z z ) arg(z z ) arg(z z ) k ,π 
em que 1z é real, 2z e 3z são complexos conjugados com parte 
imaginária não nula e k é um número inteiro. 
Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z. 
 
48. (IME – 16) O valor do somatório abaixo é: 
15
2k 1
k 1
Img(cis )
36
π

 
Observação: Img(w) é a parte imaginária de w. 
a)
2 3
4 sen
36
π
 b)
2 3
4 sen
36
π
 c)
1
4 sen
36
π
 d) sen
36
π
e) 
1
4
 
49. (IME – 17/ IME – 19) Seja Z um número complexo tal que 
2Z
Zi
 
possui argumento igual a 
3
4
π
 e 3log (2Z 2Z 1) 2.   Determine 
o número complexo Z. 
 
50. (IME – 17) Sejam 1Z e 2Z números complexos tais que 2Z é 
imaginário puro e 1 2 2| Z Z | | Z | .  Para quaisquer valores de 1Z 
e 2Z que atendam a essas condições tem-se que: 
a) 2Im(Z ) 0 b) 2Im(Z ) 0 c) 1 2| Z | 2 | Z | 
d) 1Re(Z ) 0 e) 1 2Re(Z ) Im(Z ) 
 
51. (IME – 18) Seja o número complexo z que satisfaz a relação 
       2017 20172 z i 3 i iz 1 . Determine z, sabendo que 
3
| z | .
3
 
52. (IME – 18) Seja a função H :  definida por 
  

 
3 2a s a s a s a3 2 1 0H(s)
2b s b s a2 1 0
 
com ja e kb reais, para j 0,1, 2, 3 e k 0,1, 2. Seja a função 
f :  em que f(w) é a parte real de H(iw) em que 
i 1  é a unidade imaginária e w . A afirmação correta a 
respeito de f(w) é: 
a) f(w) é uma função impar. b) f(w) é uma função par. 
c) f(w) é sempre negativa. d) f(w) é sempre positiva. 
e) f(w) é uma função periódica. 
 
53. (IME – 18) Determine o valor de a na expressão abaixo, sabendo-
se que 0 a 1,  

colog 25665(2 )(a )
log 2564(a )
2(a )
colog 2561
log 256 Im {Z}a
16
 
Onde z é um número complexo que satisfaz a equação: 
  4033 2 20172 Z 2 Z 1 0. 
Obs.: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z. 
a) 
1
4
 b) 
1
8
 c) 
116
 d) 
1
32
 e) 
1
64
 
 
 
Gabarito: 
 
(ITA) 1. A 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. B 8. D 9. B 10. A 11. B 12. E 13. B 14. E 15.A 
16.A 17. C 18. B 19. D 20. E 21. B 22. B 23. B 24. A 25. D 26. B 27. D 28. A 29. A 
30. D 31. A 32. C 33. C 34. B 35. B 36. C 37. A 38.A 39.D 40.D 41.B 42.B 43.A 
44.E 45.A 46.C 47.A 48.
1
a
5
 49. A 50.D 51. B 52. 4 2 2 
53.D 54. C 55.B 56.B 57.E 58. A = {i} 59. 2i, - 3 + i, - 3 - i e - 2i. 
60. [B] 61. [C] 62. [E] 63. [E] 64. [C] 
65. O número total de valores distintos de 
i j
n 3 n 1
z z é 1
2 2
 
   
66. [B] 67. [B] 68. [E] 69. [C] 70. [B] 71. [B] 
72.  10(a, y) (sec Argz, tgArgz). 
73. a) AB 5 1.  b) 

 0
10 2 5 5
z i.
5 5
 74. [E] 75. [A] 
(IME) 1. 3 2. 6 e 4 3. n é um número da forma 6n + 1 ou 6n – 1 
4. circunferência de centro (– 5, 1) e raio 5 
5.1 6. – 1 + 4i ou 1 – 4i. 7. 
8 6
z 1 i
5
   8. = 3 
9. 1 2
b
z z
1 a

  

 e assim não é possível formar o triângulo. 
10.0 11. z1 = 1 + 4i e z2 = 4 – 4i ou z1 = 1 – 4i e z2 = 4 + 4i 
12.elipse de centro (2,3), eixo focal paralelo ao eixo OY e eixos iguais a 2 e 3. 
13.2 + i ou 2 – i 14.(1,0), (0,1), (– 1,0) e (0, – 1) 
15. elipse de centro (2,3), eixo focal OY e eixos iguais a 2 e 3. 
16. 
1
e
 17.  i33
2
15
 18. Demonstração 19. 
2c a
d 2ab
 


 
20. C = 1: reta mediatriz; C ≠ 1: círculo de Apolônio 23. 1 
25. 
i
2 4 3z e e

 26. 
4 3
z i
25 25
   27. 
3
a) b)2cis
4 3
 
 
28. 
 
2
2
2
2
a j c jb
ij
a) b j a jc b)z
i j
c j b ja
   


   

  
 29. , i, - -, z= 1+i 
30. z1 = 1+ i; z2 = 13i 32. 
az
z
n
n
2
1
1 2


que é real. 
33. a = 2, b = 3, c = 4 e x = 1 
34. 
2
2
1 ( 1)
n
s
n


 
 e 
21 ( 1)
n
r
n

 
 
35. 
3
cos
3
2
3
2
0
n
S
n
 
33
3
3
cos
3
1
3
2
1
 n
sen
n
S
n
 
36. D 
38. a)  U 1, , 1 ,1        b) 1 2  e 1 2   
39. E 40. 3 2 41. 6 18 42. A 43. D 44. 
2p
4q
 
45. 0 46. [D] 
47. união da reta real com a circunferência de centro 1z , que passa por 2z e 
3z , excluindo-se esses três pontos 1(z , 2z e 3z ), pois não existe 
arg(0). 
48. A 49.  Z 2 2 2 2 i    
50. C 51. 
3
z
3
  52. B 53. A