41. (IME – 12) Seja o número complexo  z a bi, com a,b (real) e i 1.  Determine o módulo de z sabendo que     3 2 3 2 a 3 1 ab . b 3 a ...

Podemos começar resolvendo a equação dada: (3a^2b - b^3 + a)^2 + (3ab^2 + a^3 - b)^2 = |z|^2 Expandindo os termos, temos: 9a^4b^2 + b^6 + a^2 + 6a^2b^4 - 6a^2b^2 - 2a^4b - 2b^3 + 9a^2b^4 + a^6 - 6a^4b^2 - 2a^3b + b^2 = |z|^2 Simplificando, temos: a^6 + b^6 + 3a^2b^4 + 3a^4b^2 - 2a^4b - 2a^3b - 6a^2b^2 - 2b^3 + a^2 + b^2 = |z|^2 Agora, podemos usar a fórmula do módulo de um número complexo: |z| = sqrt(a^2 + b^2) Substituindo na equação anterior, temos: a^6 + b^6 + 3a^2b^4 + 3a^4b^2 - 2a^4b - 2a^3b - 6a^2b^2 - 2b^3 + a^2 + b^2 = a^2 + b^2 Simplificando, temos: a^6 + b^6 + 3a^2b^4 + 3a^4b^2 - 2a^4b - 2a^3b - 6a^2b^2 - 2b^3 = 0 Podemos fatorar a equação: (a^2 - b^2)^2(a^2 + b^2 + 2ab - 3b^2) = 0 Portanto, temos duas soluções possíveis: a^2 - b^2 = 0, o que implica em a = b ou a = -b. Nesse caso, substituindo na fórmula do módulo, temos |z| = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2). a^2 + b^2 + 2ab - 3b^2 = 0, o que implica em a^2 + 2ab + b^2 = 3b^2. Nesse caso, podemos escrever a^2 + 2ab + b^2 como (a + b)^2, e substituindo na fórmula do módulo, temos |z| = sqrt((a + b)^2 + 2b^2) = sqrt(a^2 + 4ab + 3b^2). Portanto, as soluções para o módulo de z são |z| = a*sqrt(2) ou |z| = sqrt(a^2 + 4ab + 3b^2).