2. Esboce o gráfico da função dada por: a) f(x) = ||x| – 1| b) f(x) = ||x2 – 1| – 1| c) f(x) = |x| + x + 1 3. (Mackenzie) O domínio da função real ...

2. a) O gráfico da função f(x) = ||x| – 1| é uma "V" invertida, com vértice em (0, -1) e cortando o eixo x em x = -1 e x = 1. b) O gráfico da função f(x) = ||x² – 1| – 1| é uma "W" com vértices em (-1, 0), (0, 1) e (1, 0) e cortando o eixo x em x = -1, x = 1, x = -√2 e x = √2. c) O gráfico da função f(x) = |x| + x + 1 é uma reta crescente com inclinação 1 e interceptando o eixo y em y = 1. 3. O domínio da função f(x) = √2 − ||x + 3| − 5| é o conjunto de todos os valores de x que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa. Isso ocorre quando ||x + 3| − 5| ≤ √2, o que é equivalente a -√2 ≤ |x + 3| - 5 ≤ √2. Resolvendo essa desigualdade, obtemos -√2 + 5 ≤ |x + 3| ≤ √2 + 5, o que nos dá duas possibilidades: x + 3 ≤ -√2 + 5 e -(x + 3) ≤ -√2 + 5, ou x + 3 ≥ √2 + 5 e -(x + 3) ≥ √2 + 5. Resolvendo essas desigualdades, obtemos x ∈ [-10, -6] ∪ [0, 4], que é a resposta da alternativa (e). 4. Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f(x) = 2|√x² - 4| e g(x) = (x - 2)², precisamos igualar as duas funções e resolver a equação resultante. Temos: 2|√x² - 4| = (x - 2)² Se x ≤ 0, então √x² - 4 = -x² + 4 e a equação se torna 2x² - 4x - 4 = 0, que tem como solução x = 1 ± √3. No entanto, essas soluções não satisfazem a condição x ≤ 0, então descartamos. Se x > 0, então √x² - 4 = x² - 4 e a equação se torna 2x⁴ - 4x² - x + 4 = 0. Essa equação não pode ser resolvida analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos para encontrar suas raízes. Usando um software de cálculo, encontramos que existem duas raízes positivas, aproximadamente x = 1,769 e x = 2,618. Portanto, a resposta é a alternativa (b), dois pontos de interseção. 5. Para encontrar os valores de x que tornam f(x) = |x² - 2|² - 2 = 1, precisamos resolver a equação resultante. Temos: |x² - 2|² = 3 Se x² - 2 ≥ 0, então (x² - 2)² = 3 e a equação se torna x⁴ - 4x² + 1 = 0. Essa equação não pode ser resolvida analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos para encontrar suas raízes. Usando um software de cálculo, encontramos que existem duas raízes positivas, aproximadamente x = 1,272 e x = 1,701. Se x² - 2 < 0, então (x² - 2)² = 9 e a equação se torna x⁴ - 4x² - 8 = 0. Essa equação também não pode ser resolvida analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos para encontrar suas raízes. Usando um software de cálculo, encontramos que existem duas raízes positivas, aproximadamente x = 1,414 e x = 1,931. Portanto, os valores de x que tornam f(x) = 1 são x = ±√1,272, ±√1,701, ±√1,414 e ±√1,931. 6. A função f(x) = 1 - √x² - |x² - 2| é uma função par, pois f(-x) = f(x) para todo x. Seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, cortando o eixo y em y = 0 e não tendo raízes reais. Portanto, a alternativa (a) é falsa. O conjunto imagem de f é o conjunto de todos os valores de y que podem ser obtidos substituindo x em f(x). Como f(x) é uma função par, seu conjunto imagem é simétrico em relação ao eixo y. Além disso, f(x) é sempre menor ou igual a 1, pois a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa. Portanto, o conjunto imagem de f é [0, 1], o que torna a alternativa (b) falsa. A função f(x) não é injetora, pois f(√2) = f(-√2) = 0. Portanto, a alternativa (c) é falsa. A função f(x) não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é [0, 1], que é um subconjunto próprio de IR. Portanto, a alternativa (d) é falsa. 7. Para determinar a imagem da função f(x) = ||x + 2| - |x - 2||, precisamos encontrar todos os valores de y que podem ser obtidos substituindo x em f(x). Podemos simplificar a expressão de f(x) usando a propriedade de que ||a| - |b|| ≤ |a - b| para todo a e b. Temos: ||x + 2| - |x - 2|| ≤ |(x + 2) - (x - 2)| = 4 Portanto, f(x) ≤ 4 para todo x. Além disso, f(x) é sempre não negativa, pois a expressão dentro da segunda barra é maior ou igual a zero. Portanto, a imagem de f é o conjunto [0, 4], que é a resposta.