6. (Fuvest 2018) Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente. a) Num tetraedro ????????????????, os ângulos ????�̂�????,  ????�̂�???? e ????�...

a) O tetraedro é regular, pois possui ângulos iguais a 90°. Sejam A, B e C os vértices opostos aos ângulos ????�̂�????,  ????�̂�???? e ????�̂�????, respectivamente. Pela lei dos cossenos no triângulo ABC, temos: cos ????�̂�???? = (????² + ????² - ????²) / (2????????) = (2????² - ????²) / (2????²) cos ????�̂�???? = (????² + ????² - ????²) / (2????????) = (2????² - ????²) / (2????²) Substituindo ???? e ???? por suas respectivas expressões em função de ????�̂�???? na equação do cosseno de ????�̂�????, temos: cos ????�̂�???? = cos(????�̂�???? + ????�̂�????) = cos ????�̂�???? cos ????�̂�???? - sen ????�̂�???? sen ????�̂�???? cos ???? cos ????�̂�???? = cos(????�̂�???? + ????�̂�????) = cos ????�̂�???? cos ????�̂�???? - sen ????�̂�???? sen ????�̂�???? cos ???? b) A distância percorrida pelo navio é a distância entre os pontos de partida e chegada ao longo da superfície da Terra. Podemos calcular essa distância usando a fórmula da distância entre dois pontos em uma esfera: d = ???? ???? / 180° onde ???? é o raio da Terra e ???? é a medida do ângulo central entre os dois pontos em graus. Nesse caso, temos: d = 6000 * ???? / 180° Para calcular o ângulo central ???? entre os pontos de partida e chegada, podemos usar a lei dos cossenos no triângulo esférico formado pelos pontos de partida, chegada e polo sul: cos ???? = cos 90° cos 90° + sen 0° sen 45° cos 45° cos ???? = cos 90° cos 90° + sen 0° sen 45° cos 45° Simplificando, temos: cos ???? = 1/2 Logo, o ângulo central ???? é: ???? = 2 cos⁻¹(1/2) = 60° Substituindo na fórmula da distância, temos: d = 6000 * 60 / 180° = 2000????3 km