47. Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2...

Para resolver esse problema, precisamos utilizar a fórmula da área do octógono regular, que é A = 2(1 + √2)l², onde l é o lado do octógono. Para o octógono inscrito, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o lado l1, que é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por um lado do octógono, a apótema (raio da circunferência inscrita) e metade de um lado do octógono. Temos: l1² = (2R)² + (R√2)² l1² = 8R² + 2R² l1² = 10R² l1 = R√10 Para o octógono circunscrito, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o lado l2, que é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por um lado do octógono, o raio da circunferência circunscrita e metade de um lado do octógono. Temos: l2² = (2R√2)² + (R)² l2² = 8R² + R² l2² = 9R² l2 = 3R Agora podemos calcular as áreas dos octógonos utilizando a fórmula A = 2(1 + √2)l². Temos: A1 = 2(1 + √2)(R√10)² A1 = 2(1 + √2)100R² A1 = 200R² + 200R²√2 A2 = 2(1 + √2)(3R)² A2 = 2(1 + √2)9R² A2 = 18R² + 18R²√2 Agora podemos calcular a razão A1/A2: A1/A2 = (200R² + 200R²√2)/(18R² + 18R²√2) A1/A2 = (100R² + 100R²√2)/(9R² + 9R²√2) A1/A2 = (100R²(1 + √2))/(9R²(1 + √2)) A1/A2 = 100/9 Portanto, a alternativa correta é a letra E) (2 + √2)/4.