5. (Fgvrj 2016) Em um departamento de uma universidade, trabalham 4 professoras e 4 professores e, entre eles, estão Astreia e Gastão, que são casa...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o princípio fundamental da contagem e a combinação de elementos. Primeiro, vamos escolher um dos elementos do casal, que obrigatoriamente estará no grupo. Temos duas opções: Astreia ou Gastão. Agora, precisamos escolher mais dois professores(as) para completar o grupo. Como deve haver pelo menos um homem, temos duas possibilidades: escolher dois homens ou escolher um homem e uma mulher. Se escolhermos dois homens, temos 4 homens para escolher e 4 mulheres restantes. Portanto, temos 4 escolhas para o primeiro homem, 3 escolhas para o segundo homem e 4 escolhas para a mulher. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 4 x 3 x 4 = 48 possibilidades Se escolhermos um homem e uma mulher, temos 4 homens e 4 mulheres para escolher. Portanto, temos 4 escolhas para o homem e 4 escolhas para a mulher. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 4 x 4 = 16 possibilidades Somando as possibilidades de escolher dois homens e escolher um homem e uma mulher, temos: 48 + 16 = 64 possibilidades Portanto, há 64 maneiras diferentes de organizar o grupo de 3 professores(as) para o congresso.