Em um departamento de uma universidade, existem 20 professores. 7 deles são pesquisadores, 6 trabalham apenas com extensão e 12 se dedicaram ao ens...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o diagrama de Venn para visualizar as informações dadas no enunciado. De acordo com o enunciado, temos que: - 7 professores são pesquisadores (P) - 6 professores trabalham apenas com extensão (E) - 12 professores se dedicam ao ensino (E) - Nenhum professor pesquisador é extensionista (P ∩ E = 0) - 5 professores que trabalham com o Ensino são também pesquisadores (E ∩ P = 5) - Existe extensionista que é professor que trabalha com Ensino (E ∩ T ≠ 0) Podemos começar preenchendo o diagrama com as informações que já temos: ``` P / \ / \ E T \ / \ / X ``` Onde: - P: professores pesquisadores - E: professores que trabalham com extensão - T: professores que trabalham com ensino - X: professores que não se encaixam em nenhuma das categorias acima A partir das informações dadas, podemos concluir que: - Como nenhum professor pesquisador é extensionista, temos que P ∩ E = 0. Portanto, a região que representa a interseção entre P e E deve ser vazia. - Como 5 professores que trabalham com o Ensino são também pesquisadores, temos que E ∩ P = 5. Portanto, a região que representa a interseção entre E e P deve ter 5 elementos. - Como existe extensionista que é professor que trabalha com Ensino, temos que E ∩ T ≠ 0. Portanto, a região que representa a interseção entre E e T deve ter pelo menos um elemento. Podemos então preencher o diagrama com essas informações: ``` P / \ / \ E T \ / \ \ / \ 5 ? ``` O número de professores que trabalham apenas com o ensino corresponde à região que representa apenas a categoria T. Para descobrir quantos professores estão nessa categoria, podemos utilizar a fórmula da inclusão-exclusão: |T| = |E ∩ T| + |P ∩ T| + |(E ∪ P ∪ T)^c| Onde: - |T|: número de professores que trabalham com o ensino - |E ∩ T|: número de professores que são extensionistas e trabalham com o ensino - |P ∩ T|: número de professores que são pesquisadores e trabalham com o ensino - |(E ∪ P ∪ T)^c|: número de professores que não se encaixam em nenhuma das categorias acima Já sabemos que |E ∩ T| ≠ 0, pois existe extensionista que é professor que trabalha com Ensino. Também sabemos que |P ∩ T| = 5, pois 5 professores que trabalham com o Ensino são também pesquisadores. Resta descobrir o valor de |(E ∪ P ∪ T)^c|. Podemos calcular esse valor subtraindo o número total de professores (20) pelo número de professores que se encaixam em pelo menos uma das categorias acima: |(E ∪ P ∪ T)^c| = 20 - (|E| + |P| + |T| - |E ∩ P| - |E ∩ T| - |P ∩ T| + |E ∩ P ∩ T|) Substituindo pelos valores que já conhecemos, temos: |(E ∪ P ∪ T)^c| = 20 - (6 + 7 + |T| - 0 - |E ∩ T| - 5 + 0) Simplificando: |(E ∪ P ∪ T)^c| = 2 - |T| Agora podemos substituir esse valor na fórmula da inclusão-exclusão: |T| = |E ∩ T| + |P ∩ T| + |(E ∪ P ∪ T)^c| |T| = |E ∩ T| + 5 + (2 - |T|) |T| = |E ∩ T| - |T| + 7 Isolando |T|: |T| + |T| = |E ∩ T| + 7 2|T| = |E ∩ T| + 7 Sabemos que |E ∩ T| ≥ 1, pois existe extensionista que é professor que trabalha com Ensino. Portanto: 2|T| ≥ 1 + 7 2|T| ≥ 8 |T| ≥ 4 Concluímos que o número de professores que trabalham apenas com o ensino deve ser maior ou igual a 4. A única alternativa que inclui o número 4 é a letra C: ]4, 13[. Portanto, a resposta correta é a letra C.