7. (Fuvest 2005) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro a...

Vamos analisar a situação descrita no enunciado. Sabemos que dois homens se cumprimentam com um aperto de mão e se despedem com outro aperto de mão. Isso significa que cada vez que se encontram e se despedem, são contabilizados dois apertos de mão. Já um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão e se despedem com um aceno. Isso significa que cada vez que se encontram, é contabilizado um aperto de mão, e cada vez que se despedem, não há aperto de mão. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Isso significa que não há apertos de mão envolvidos nessas interações. Na comemoração, foram trocados 720 apertos de mão. Vamos chamar de "x" o número de homens presentes e de "y" o número de mulheres presentes. Sabemos que cada par de homens presentes trocou dois apertos de mão, então o número de apertos de mão entre homens é igual a 2 vezes o número de combinações de 2 homens presentes, ou seja, 2x(x-1)/2 = x(x-1). Já o número de apertos de mão entre homens e mulheres é igual ao número de homens presentes multiplicado pelo número de mulheres presentes, ou seja, xy. Finalmente, o número de apertos de mão entre mulheres é igual a 0, já que elas só trocam acenos. Somando tudo, temos a seguinte equação: x(x-1) + xy = 720 Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por x: x-1 + y = 720/x Sabemos que x e y são inteiros positivos, e que o resultado da divisão 720/x também é um inteiro positivo. Portanto, as possibilidades para o valor de x são 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 e 360. Para cada valor de x, podemos calcular o valor correspondente de y a partir da equação acima. Por exemplo, se x=2, temos: 2-1 + y = 720/2 y = 359 Isso significa que havia 2 homens e 359 mulheres presentes na comemoração. No entanto, essa não é uma solução válida, já que não é possível formar um par de homens para trocar apertos de mão. Testando os outros valores de x, chegamos à solução correta: x=6, y=20 Isso significa que havia 6 homens e 20 mulheres presentes na comemoração. Verificando a equação original, temos: 6*5 + 6*20 = 720 Portanto, a resposta é que havia 20 mulheres presentes na comemoração.