2. (Fuvest 2018) Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) sen (x) e que a linha contínua represente o gráfico da funç...

Para resolver essa questão, é necessário observar que a função seno tem período 2π, ou seja, se f(x) = sen(x), então f(x + 2π) = sen(x + 2π) = sen(x). Isso significa que o gráfico de f(x) se repete a cada 2π unidades no eixo x. Analisando o gráfico dado na questão, podemos observar que ele se repete a cada π unidades no eixo x. Isso significa que o período da função representada no gráfico é π/2. Além disso, podemos observar que o gráfico de g(x) é uma translação vertical do gráfico de f(x) em uma unidade para cima. Isso significa que a função g(x) é dada por g(x) = f(x) + 1. Agora, vamos analisar as alternativas: a) 0 < α < 1 e 0 < β < 1. Não é possível, pois o período da função é π/2, ou seja, β deve ser maior ou igual a π/2. b) 1 < α e 0 < β < 1. Não é possível, pois o período da função é π/2, ou seja, α deve ser menor ou igual a π/2. c) 1 = α e 1 < β. Não é possível, pois o período da função é π/2, ou seja, α deve ser menor ou igual a π/2. d) 0 < α < 1 e 1 < β. Correta. Como o período da função é π/2, temos que α + β = π/2. Além disso, como o gráfico de g(x) é uma translação vertical do gráfico de f(x) em uma unidade para cima, temos que g(x) = f(x) + 1. Portanto, g(α) = f(α) + 1 e g(β) = f(β) + 1. Como f(α) = f(α + π/2) e f(β) = f(β + π/2), temos que g(α) = g(β + π/2) e g(β) = g(α + π/2). Substituindo pelos valores de g(x) e f(x), temos: sen(α) + 1 = sen(β + π/2) sen(β) + 1 = sen(α + π/2) Isolando sen(α) e sen(β) em cada equação e elevando ao quadrado, temos: sen²(α) = cos(β) sen²(β) = cos(α) Somando as duas equações, temos: sen²(α) + sen²(β) = cos(α) + cos(β) Como sen²(α) + cos²(α) = 1 e sen²(β) + cos²(β) = 1, temos: 1 - cos²(α) + 1 - cos²(β) = cos(α) + cos(β) Simplificando, temos: 2 - cos²(α) - cos²(β) = cos(α) + cos(β) Substituindo cos(α) por sen(β) e cos(β) por sen(α), temos: 2 - sen²(β) - sen²(α) = sen(α) + sen(β) Substituindo sen(α) por 1 - sen(β) (pois g(α) = f(α) + 1), temos: 2 - sen²(β) - sen²(α) = 1 - sen(β) + sen(β) Simplificando, temos: sen²(β) + sen(β) - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: sen(β) = (-1 + √5)/2 ou sen(β) = (-1 - √5)/2 Como β deve ser maior ou igual a π/2, temos que sen(β) é positivo, portanto: sen(β) = (-1 + √5)/2 Substituindo na equação α + β = π/2, temos: α = π/2 - sen⁻¹((-1 + √5)/2) β = sen⁻¹((-1 + √5)/2) Portanto, a alternativa correta é a letra d). e) 0 < α < 1 e 1 = β. Não é possível, pois o período da função é π/2, ou seja, α deve ser menor ou igual a π/2.