50. (Ita) Sejam α e β números reais tais que ,α ,β    0,2α β π e satisfazem as equações  2 44 1 cos cos 2 5 2 5 α α e  2 44 3 cos cos...

Para resolver essa questão, podemos utilizar as identidades trigonométricas para simplificar as equações dadas. Começando pela primeira equação: 1 + cos(2α) = 4cos²(α/2) cos(2α) = 4cos²(α/2) - 1 Substituindo na segunda equação: 3cos(2β) + 4cos(β) = 4 3(2cos²(β) - 1) + 4cos(β) = 4 6cos²(β) + 4cos(β) - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: cos(β) = (-4 ± √28)/12 cos(β) = (-1 ± √7)/3 Como β está no intervalo [0, 2α], podemos concluir que cos(β) é positivo, e portanto: cos(β) = (-1 + √7)/3 Substituindo na equação de α e β: cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) cos(α + β) = (1 + cos(2α))(cos(β)) - 2sin(α)sin(β) cos(α + β) = (1 + 4cos²(α/2) - 2sin²(α/2))((-1 + √7)/3) - 2sin(α)(-√7/3) Podemos simplificar ainda mais utilizando as identidades trigonométricas: cos²(α/2) = (1 + cos(α))/2 sin²(α/2) = (1 - cos(α))/2 sin(α) = 2sin(α/2)cos(α/2) Substituindo na equação acima: cos(α + β) = ((1 + cos(α))(2cos²(α/2)) - (1 - cos(α))(2sin²(α/2)))((-1 + √7)/3) - 4sin²(α/2)(-√7/3) cos(α + β) = ((1 + cos(α))(1 + cos(α/2)) - (1 - cos(α))(1 - cos(α/2)))((-1 + √7)/3) + 4sin²(α/2)(√7/3) Podemos simplificar ainda mais utilizando a identidade trigonométrica: cos(α/2) = ±√((1 + cos(α))/2) Substituindo na equação acima: cos(α + β) = ((1 + cos(α))(1 ± √((1 + cos(α))/2)) - (1 - cos(α))(1 ∓ √((1 + cos(α))/2)))((-1 + √7)/3) + 4(1 ± √((1 + cos(α))/2))^2(√7/3) Podemos simplificar ainda mais utilizando a identidade trigonométrica: cos(α) = 2cos²(α/2) - 1 Substituindo na equação acima: cos(α + β) = ((1 + cos(α))(1 ± √((1 + cos(α))/2)) - (1 - cos(α))(1 ∓ √((1 + cos(α))/2)))((-1 + √7)/3) + 4(1 ± √((1 + cos(α))/2))^2(√7/3) cos(α + β) = ((1 + cos(α))(1 ± √((1 + cos(α))/2)) - (2cos²(α/2)))((-1 + √7)/3) + 4(1 ± √((1 + cos(α))/2))^2(√7/3) cos(α + β) = ((1 + cos(α))(1 ± √((1 + cos(α))/2)) - (1 + cos(α)))((-1 + √7)/3) + 4(1 ± √((1 + cos(α))/2))^2(√7/3) cos(α + β) = (±2√((1 + cos(α))/2))((-1 + √7)/3) + 4(1 ± √((1 + cos(α))/2))^2(√7/3) cos(α + β) = (±√(2(1 + cos(α))))((-1 + √7)/3) + 8(1 ± √((1 + cos(α))/2))(√7/3) Agora podemos calcular o menor valor de cos(α + β) substituindo o valor mínimo de cos(α) no intervalo [0, 2α]: cos(α) = 2cos²(α/2) - 1 cos(α) = 2cos²(α/2) - 1 cos(α/2) = ±√((1 + cos(α))/2) cos(α/2) = ±√((1 + 0)/2) = ±1 cos(α) = 2cos²(α/2) - 1 = 2(1)² - 1 = 1 Substituindo na equação de cos(α + β): cos(α + β) = (±√(2(1 + 1)))((-1 + √7)/3) + 8(1 ± √((1 + 1)/2))(√7/3) cos(α + β) = ±√2((-1 + √7)/3) + 8(1 ± √2)(√7/3) O menor valor de cos(α + β) é quando o sinal é negativo, portanto: cos(α + β) = -√2((-1 + √7)/3) + 8(1 - √2)(√7/3) cos(α + β) = (-√2 + 8√7 - 8√14)/9 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1 - .