Lista_06_-_Trigonometria_3

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LISTA 6: TRIGONOMETRIA 3 
 
 
Prof. Rodrigo 
 
1 
I. Transformação em Produto: 
 
1. Prove que: 
a) 
p q p q
senp senq sen cos
    
     
   
2
2 2
 
b) 
p q p q
senp senq sen cos
    
     
   
2
2 2
 
c)
p q p q
cosp cosq cos cos
    
     
   
2
2 2
 
d)
p q p q
cosp cosq sen sen
    
      
   
2
2 2
 
e)    senx cosy sen x y sen x y      
1
2
 
f)    cos x cosy cos x y cos x y      
1
2
 
g)    senx seny cos x y cos x y      
1
2
 
 
Comentário: As identidades a, b, c e d são chamadas de fatoração 
das somas trigonométricas ou Fórmulas de Werner (Prostaférese); 
as identidades e, f e g são chamadas de fórmulas de reversão. 
 
2. Mostre que: 
a) sen sen sen    20 40 80 
b) senx cos x cos x
 
   
 
2
4
 
c) 
sen sen sen
tg
cos cos cos
    
 
    
30 40 50
40
30 40 50
 
d) cos cos cos
  
   
2 4 6 1
7 7 7 2
 
e) tg tg tg     20 40 80 3 
f) 
cos
sen
cot g tg

 
 

2 1
2
4
2 2
 
g) sen sen sen sen cos      47 61 11 25 7 
h) cos cos cos cot g      8 10 20 40 10 
i) cos cos
 
  
3 1
5 5 4
 
j) 
cos
tg tg tg tg

       
8 3 20
30 40 50 60
3
 
k) cos cos cos cos       
1
24 48 84 12
2
 
l) tg tg tg tg sen        20 40 80 60 8 40 
m) tg tg tg tg      20 30 40 10 
 
n) tg tg tg
  
  
2 3
7
7 7 7
 
o) 
sen x cos x
cos x
sen x cos x
 
2 2
2 2
3 3
8 2 
p)    
 
 
cos
tg tg
cos
   
     
   
2 10 2 1
35 25
2 10 2 1
 
q) cot g
cot g
  
 
2
1 23
1 22
 
r)    cos cos tg     2 24 9 3 4 27 3 9 
s) 
tg x k
tg x tg x ,x
tgx
     
      
   
3
3 3 6
 
t) 
k
tg a tg a tga tg a tg a tga,a

     3 2 3 2
2
 
u) tg tg tg tg       9 27 63 81 4 
 
3. Determine a natureza do triângulo ABC (acutângulo, retângulo ou 
obtusângulo; equilátero, isósceles ou escaleno) no qual: 
a) sen A sen B sen C 2 2 2 
b) senA senB cosC 2 
c) senA senB senC  
d) senB cosC cosB senC   
e) 
A
senB senC cos  2
2
 
f) sen A senB senA sen B  2 2 
g) cos A cos B cos C  2 2 2 1 
h) (IME) 
sen B tgB
tgCsen C

2
2
 
i) (IME) 
A B B A
sen cos sen cos3 3
2 2 2 2
 
 
4. (OMA) (Argentina) Demonstrar que se em um triângulo ABC vale 
a relação: sen2 A + sen2 B + sen2 C = 2 então o triângulo é 
retângulo. 
 
5. Nos itens a seguir, A, B e C são ângulos internos de um 
triângulo. Prove que: 
a) (IME) 
sen A
.cos A.cosB.cosC
tgB tgC


2
2 . 
b) (IME)
A senB senC
cotg
cosB cosC


2
. 
c) 
A B A C B C
tg tg tg tg tg tg     1
2 2 2 2 2 2
 
d) tgA tgB tgC tgA tgB tgC     
e) 
A B C A B C
sen sen sen sen sen sen      2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2
 
f) cos A cos B cos C cosA cosB cosC      2 2 2 1 4 
g) 
A B C
cosA cosB cosC sen sen sen     1 4
2 2 2
 
6. Seja 

 
7
. 
a) Mostre que sen sen sen sen      2 23 2 3 ; 
b) Mostre que cossec cossec cossec   2 3 ; 
c) Calcule cos cos cos  2 3 ; 
d) Prove que cos é raiz da equação x x x   3 28 4 4 1 0 ; 
e) Prove que cos é irracional; 
f) Calcule tg tg tg    2 3 ; 
g) Calcule tg tg tg  2 2 22 3 ; 
 
 
 
 
 
 
2 
h) Calcule tg tg tg tg tg tg     2 2 2 2 2 22 2 3 3 
i) Calcule cotg cotg cotg  2 2 22 3 
 
7. No triângulo ABC, vale as relações: 
senA cosB
senB cos A
  

 
3 4 6
4 3 1
 . Determine a medida do ângulo C. 
 
8. (IME) Os ângulos ,  e  de um triângulo satisfazem à equação 
  sen sen sen sen sen sen sen sen        3 . 
Determine o valor do ângulo , em radianos. 
 
9. (Baltic Way) Prove que sen sen 3 2
1
18 18
8
. 
 
10. (Revista CRUX Mathematicorum) Quantos ângulos agudos 
distintos  existem para os quais: cos cos cos    
1
2 4
8
. 
 
11. (Canadian Open Mathematics Challenge) Determine a soma 
dos ângulos A e B, onde 0  A, B  180 e 
s en A s enB
cos A cosB

 



 
6
2
2
2
 
 
II. Equações e Inequações: 
 
12. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com 
2 2π α π   e 0 .β π  Se o sistema de equações, dado 
em notação matricial,
03 6 tg
,
6 8 cos 2 3
α
β
    
     
     
for satisfeito, 
então α β é igual a 
a) 
3
π
 b) 
6
π
 c) 0 d) 
6
π
 e) 
3
π
 
 
13. (Espcex (Aman) 2017) A soma das soluções da equação 
 cos(2x) cos(x) 0, com x [0, 2 ),π é igual a 
a) 
5
3
π
 b) 2π c) 
7
3
π
 d) π e) 
8
3
π
 
14. (Espcex (Aman) 2015) Seja  

3
10
3 7
10 10
log1
.
2 log log
β O 
conjunto solução da desigualdade cos(x)
3
3
7
β
 
  
 
 no intervalo 
 0,2 ,π é igual a 
a) 0, .
3
π 

 
b) 
5
, .
3 3
π π 
 
 
c) ,2 .
3
π
π
 
 
 
d) ,2 .
3
π
π
 

 
e) 
3
,2 .
2
π
π
 

 
 
 
15. (Espcex (Aman) 2015) A soma de todas as soluções da 
equação 3 22cos (x) cos (x) 2cos(x) 1 0,    que estão 
contidas no intervalo  0,2 ,π é igual a 
a) 2 .π b) 3 .π c) 4 .π d) 5 .π e) 6 .π 
16. (Esc. Naval 2013) Sabendo que 
3b sec ...
3 6 12
π π π 
    
 
 então, o valor de 2log b é 
a) 8 b) 4 c) 3 d) 1 e) 0 
 
17. (Esc. Naval 2013) A soma das soluções da equação 
trigonométrica   cos3x cos2x cosx 1 no intervalo  0,2 ,π é 
a) 8π b) 6π c) 
8
3
π
 d) 5π e) 
5
2
π
 
 
18. (Esc. Naval 2013) A soma das soluções da equação 
trigonométrica cos2x 3cosx 2,   no intervalo  0,2π é 
a) π b) 2π c) 3π d) 
5
3
π
 e) 
10
3
π
 
 
19. (Fuvest 2000) Determine os números reais x e y, com 
0 ≤ x + y ≤  e 0 ≤ y ≤ , tais que: 
   

 

    

1
sen x sen y
4
3
cos x y cos x y
2
. 
20. (Espcex (Aman) 2018) O conjunto solução da inequação 
22sen x cosx 1 0,   no intervalo  0, 2π é 
a) 
2 4
, .
3 3
π π 
 
 
 b) 
5
, .
3 6
π π 
 
 
 c) 
5
, .
3 3
π π 
 
 
 
d) 
2 4 5
, , .
3 3 3 3
π π π π   
   
   
 e) 
5 7 10
, , .
6 6 6 6
π π π π   
   
   
 
 
21. (Eear 2017) Seja 
cossec x sec x
M ,
cotgx 1



 definida no seu 
domínio de validade.Utilizando-se as identidades trigonométricas, 
pode-se considerar M igual a 
a) sen x b) cosx c) secx d) cossecx 
 
22. (Ime 2015) O número de soluções da equação 
2 2cos(8x) sen(2x) tg (x) cotg (x)   no intervalo [0, 2 )π : 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 
 
23. (Ime 2014) Resolva a equação 
   22cosx cos xlog sen x log senx 4  
 
24. (Fuvest 2007) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo 
trigonométrico e verifica a equação 5cos2x + 3senx = 4. 
Determine os valores de senx e cosx. 
 
25. (Fuvest 2005) Determine todos os valores de x pertencentes ao 
intervalo [0, 2] que satisfazem a equação: 2 2
1
cos 2x sen x
2
  . 
26. (Fuvest 2003) Determine os valores de x no intervalo ]0,2[ 
para os quais cos x senx 3 3 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
27. (Fuvest 2001) 
a) Calcule cos3 em função de sen e de cos. 
b) Calcule sen3 em função de sen e de cos. 
c) Para 0 <  < 
2
π
, resolva a equação: 
sen cos
sen cos
sen cos
 
   
 
2 1 3 31
2
. 
 
28. (Ufpe) Determine a menor solução real positiva da equação 
x x x
sen sen cos
       
      
     
2
423 423 846
 . 
29. Resolva a equação cos x senx 3 1. 
 
30. (Ufes) Determine todos os valores de x para os quais 
sen x cos x senx cos x 3 3
1
4
 . 
31. (Uel) Se x [0,2 ]π , o número de soluções da equação 
 
  
 
cos2x sen x
2
π
 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
32. (Ita) Seja a ∈ 
 
 
 
,
4 4
π π
 um número real dado. A solução 
(x0, y0) do sistemade equações:
 
 
   

  
sena)x cosa y tga
(cosa)x sena y 1
 
é tal que: 
a) x0.y0 = tga b) x0.y0 = - seca 
c) x0.y0 = 0 d) x0.y0 = sen2a 
e) x0.y0 = sena 
 
33. (Ufrgs) Considere a equação  cosx cos(x )π . Se 
0 x 2π  , esta equação 
a) não tem solução. 
b) tem apenas 1 solução. 
c) tem somente soluções 0 e π . 
d) tem somente as soluções 
2
π
 e 
3
2
π
. 
e) tem infinitas soluções. 
 
34. (Ita) A soma das raízes da equação 
tgx sen x cos x  3 3 2 2 0 , que pertencem ao intervalo [0, 
2], é: 
 a) 
17
4
π
 b) 
16
3
π
 c) 
15
4
π
 d) 
14
3
π
 e) 
13
4
π
 
 
35. (Unicamp) a) Encontre todos os valores reais de x para os 
quais 
x
x

  
2 4
1 1
4
; 
b) Encontre todos os valores reais de x e y satisfazendo 
x xcosy  2 4 4 0 . 
 
 36. (Ufv) Determine todos os pares (x,y) de números reais que 
satisfazem o sistema a seguir: 
 


2 2
2 2
sen x sen 2y
cos x sen y
, sendo 0 ≤ x ≤  e 0 ≤ y ≤ . 
 
37. (Uff) Determine a relação entre os números reais a e b de 
modo que as igualdades: 
cos x a senx
cos x b senx
   

  
1
1
 , com x ≠ k, k ∈ Z, sejam satisfeitas 
simultaneamente. 
 
38. (Fuvest) Ache todas as soluções da equação: 
3 3sen x cos x 3senx cos x 0  , no intervalo [0,2π). 
 
39. (Unicamp) Considere a equação trigonométrica: 
2 2 1sen 2cos sen2 0
2
    
a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os valores de  
para os quais cos = 0. 
b) Encontre todos os valores de cos que são soluções da 
equação. 
 
40. (Fuvest) Se  está no intervalo [0, 2] e satisfaz 
   4 4
1
sen cos ,
4
 então o valor da tangente de  é: 
a) 
3
5
 b) 
5
3
 c) 
3
7
 d) 
7
3
 e) 
5
7
 
41. (Ita) Encontre todos os valores de a ;
  
  
 2 2
para os quais a 
equação na variável real x, 
x xe e
arctg arctg a
      
           
            
2 1 2 1
2 2
, admite 
solução. 
 
42. (Unicamp) Dado o sistema linear homogêneo: 
   
   
   

  
cos sen x 2sen y 0
cos x cos sen y 0
α α α
α α α
 
a) Encontre os valores de  para os quais esse sistema admite 
solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução x = y = 0. 
b) Para o valor de α encontrado no item (a) que está no intervalo
 
 
 
0;
2
π
 , encontre uma solução não-trivial do sistema. 
43. Resolva a equação arccos x arccos x

 
2
2
3
. 
44. (Ita) O conjunto solução de    2 2tg x 1 1 cot g x 4   , x ≠ 
k/2, k ∈ Z, é 
a) {(/3) + (k/4), k ∈ Z} b) {(/4) + (k/4), k ∈ Z} 
c) {(/6) + (k/4), k ∈ Z} d) {(/8) + (k/4), k ∈ Z} 
e) {(/12) + (k/4), k ∈ Z} 
 
 
 
 
 
 
4 
 
45. (Ita) A soma de todas as soluções distintas da equação 
cos3x + 2cos6x + cos9x = 0, que estão no intervalo 0 ≤ x ≤ /2, é 
igual a 
a) 2 b) (23/12) c) (9/6) d) (7/6)  e) (13/12)  
 
46. (Ita) Considere a equação 
 
    
 
2 2 x x(3 2cos x) 1 tg 6tg 0.
2 2
 
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, [. 
b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. 
 
47. (Ita) Sejam a um número real e n o número de todas as 
soluções reais e distintas  x 0,2π da equação 
8 8 6cos x sen x 4 sen x a.   Das afirmações: 
I. Se a 0, então n 0; 
II. Se 
1
a ,
2
 então n 8; 
III. Se a 1, então n 7; 
IV. Se a 3, então n 2, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas III. 
c) apenas I e III. d) apenas II e IV. 
e) todas. 
 
48. (Ita) Encontre os pares  , 0, 0,
2 2
π π
α β
   
    
   
 que 
satisfazem simultaneamente as equações: 
  2tg cotg cos sen 2 cos ( ) 1α β α β α β     e 
   3 sen cos 3.α β α β    
 
49. (Unicamp) Seja x real tal que cos x tg x. O valor de senx é 
a) 
3 1
.
2

 b) 
1 3
.
2

 c) 
5 1
.
2

 d) 
1 5
.
2

 
 
50. (Ita) Sejam α e β números reais tais que ,α ,β 
   0,2α β π e satisfazem as equações 
 2 4
4 1
cos cos
2 5 2 5
α α
 e  2 4
4 3
cos cos .
3 7 3 7
β β
 
Então, o menor valor de cos( )α β é igual a 
a) 1. b) 
3
.
2
 c) 
2
.
2
 d) 
1
.
2
 e) 0. 
 
51. (Ita) Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, ].π 
Determine todos os pares ordenados (x, y) tais que 

 

   

1
2 cos x sen y
2
1
2 sen x 3 cos y .
2
 
 
 52. (Ime) Determine o conjunto solução da equação: 
 
   
 
x
(sen x) 1 tg x tg 4 cot g x
2
 
 
53. (Ita) O número de soluções da equação 
(1 sec )(1 cossec ) 0,θ θ   com [ , ],θ π π  é 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
 
54. (Unicamp) Sabendo que k é um número real, considere a 
função f(x) k sen x cos x,  definida para todo número real x. 
a) Seja t um número real tal que f(t) 0. Mostre que 
f(2t) 1.  
b) Para k 3, encontre todas as soluções da equação 
2 2f(x) f( x) 10   para 0 x 2 .π  
 
55. Resolva as equações: 
a) cos x cos x3 b) sen x cosx2 
c) tg x tg x7 3 d) tgx tg x 3 1 
e) senx cos x 3 1 f) senx cos x  2 
g) sen x cos x 4 4
1
2
 h) sen x cos x 3 3 1 
i)  senx sec x cos x 3 
j) sen x sen x cosx 4 2 
k) sen x senx cos x cos x  2 25 3 4 3 
l) tgx tg x tg x 2 3 m) cos x cos x cos x  2 2 22 3 1 
n) arcsenx arcsen x

 2
6
 o) 
x x
arctg arctg
  
 
1 1
2 2 4
 
p) sen x cos x senx cos x cos x  2 2 3 410 21 0 
q) sen x cos x sen x  2 17 3 5 5 0 
r)  arctan x x   24 3 3
4
 s) arccos x arctanx 
t) arcsen arcsen x arcsen
x
  
2 1
1
33
 
 
56. Resolva a equação nos inteiros: 
arctanx arctan arctan
y
 
1
3 . 
57. Resolva os seguintes sistemas de equações: 
a) 
senxseny
tgxtgy



 
3
4
3
 b) 
sen x seny
cos x cos y



 

3
3
1
2
1
2
 
c) 
x y z
tgxtgz
tgytgz
    


 
2
18
 d) 
sen x cos x cos y
cos x senxseny
 


2
2
 
e) 
x x y y
y y z z
z z x x
  


 

 
2
2
2
2
2
2
 f) 
 xy x
x y
  

  
2
2 2
4 2 1 1
1
 
g) 
x y y x
arcsenx arcseny

   
 
 

2 21 1 1
4
2 3
3
 h) 
x y
y x

  

   
2
2
1 1
1 3
 
 
58. Se tgx senx cos x  2 5 10 , calcule tgx. 
 
 
 
 
 
 
5 
59. Mostre que cot g cos   70 4 70 3 
 
60. Resolva a equação cos x cos x sen x  2
1
1 2 3 3
2
. 
61. Resolver a equação: 
senx sen x sen x
 
1 1 1
2 4
. 
 
62. Resolva a equação  senx cos x tgx cot gx  2 . 
 
63. Resolva a equação: 
 
cos x cos x
senx
senx

  
2 2 2 2 1
3 3 3 2
. 
 
64. Resolva as inequações: 
 
a) cos x senx 3 1 
b) sen x cos x
 
   
 
22 3 2 0
4
 
c) sen x senx cos x cos x  2 26 2 
d) senx cos x
senx
 
1
 
e) senx cos x cos x  2 2 
f) sen x senx sen x  22 3 1 
g) 
cos x
sen x
 




0
3
0
5
 h) 
x
sen
cos x



  

1
2 2
1
2
2
 
 
65. Nos itens a seguir, resolva em função do parâmetro a: 
a) sen x cos x a 4 4 
b)    a sen x a senx a     21 2 1 2 1 0 
c) senx cos y a
seny cos x a
 


2
 
d) 
senx seny a
senysenx a
  

 
22
 
 
66. Resolva as seguintes equações irracionais: 
a)  x x x   2 21 2 2 1 
b) x x
x
  

2
2
5
1
2 1
 
c) x x x  2 31 4 3 
d) x x x x    2 21 2 1 2 1 
e) 
x x
x
 
 
2
21 2 1 2 1
2
 
f) 
 
x x
x x
  
 
2
2 2
1
1
1 1
 
g) x x   2 2 2 
 
GABARITO: 
 
3. 
a) retângulo em A; b) isósceles (B = C); 
c) não existe tal triângulo; d) isósceles (B = C); 
e) isósceles (B = C); f) isósceles (B = A); 
g) retângulo h) retângulo ou isósceles 
i) isósceles 
6. c) 
1
2
 f) 7 g) 21 h) 35 i) 5 7. C = 30° 8. 

 
3
 10. 4 11. A B

 
2
3
 
12. [B] 13. [C] 14. [A] 15. [B] 16. [D] 17.[B] 18. [C] 
19.
5 5
S , ; ,
6 6 6 6
        
      
     
 20. [C] 21. [C] 22. [C] 
23. 
5 1
S x R / x arcsen k 2 ,k Z .
2
π
  
      
  
 
24. 
1 2 6
senx e cos x
5 5
    
25. S = { π/6, π/4, 3π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 7π/4, 11π/6 } 26. 
3 11
x
2 6
 
  
27. a)  2cos 1 4sen   b)  2sen 4cos 1   c) 
3
π 
 
 
 
28. 47 29. x k

  2
6
 ou x k

  2
2 
30. θ = 3π/8 + nπ/2 31. [D] 
32.[C] 33. [D] 34. [B] 35. a) x = 2 ou x = - 2 b) x = 2 e y = π + h2π, h ∈ Z 
ou x = - 2 e y = h2π, h ∈ Z 
36. 
 V={(π/3, π/6); (2π/3, π/6); (0, π/2); (π, π/2); (π/3,5π/6); (2π/3, 5π/6)} 37. ab = 1 
38. S = {0; π/3; π/2; 2π/3; π; 4π/3; 3π/2; 5π/3} 39. b) ± 
2
2
 ou ± 
5
5
 40. [B] 
41.  0 a
4
π
 42. a) 
   
     
   
k
,k Z
8 2
π π
α b)  2 2,1 
43. ½ 44. [D] 45. [E] 
46. a)S = {
6

,
2

,
6
5
} b)
5
cot g 3,cotg 0,cotg 3
6 2 6
  
    
47. [E] 48. ( , ) , ;
4 4
π π
α β
 
  
 
 ( , ) , .
12 12
π π
α β
 
  
 
 
49. [C] 50. [B] 51. 
5
,
4 6
π π 
 
 
 e 
2
, .
12 3
π π 
 
 
 
52.
 
       
 
5
S x / x k ou x k , k
12 12
π π
π π 
53. [A] 54. a)  f(2t) 1.b)  3 5 7S , , , .
4 4 4 4
π π π π
 
55. 
a) 
k
x


2
 b) 
k
x k ou 
  
   
2
2
2 6 3
c) 
k
x ,k m

  4 2
4
 
d) 
k
x
 
 
8 4
e) x k ou x k
 
      
5
2 2
2 6
f) x k

  2
4
 
g) 
k
x
 
 
4 2
h) x k ou x k

      2 2
2 
i) x k ou x k

    
6 
j) 
k k
x k ; ; 
    
    
2 5 2
2 18 3 18 3
 
k) x k ou x arctg k

     
1
4 2
 l) 
k
x


3
 
 
 
 
 
 
 
6 
m) 
k k
x ou x oux k
    
      
6 3 4 2 2
 n) x


5 2 3
2 13
 
o) x  1 p) x k ou x arctg k ou x arctg k

        7 3
2
 
q) 
k k
x ou 
   
   
66 11 9 6
r)  S ,  1 2
 
s) x


5 1
2
t) x 
2
3
 
56.            , ; , ; , ; , ; , ; ,   2 7 4 13 12 5 8 8 5 13 4 
57. 
a) 
       S n k , n k ; n k , n k
        
                  
     3 3 3 3
 
b) 
k , k ; k , k ;
S
k , k ; k , k
       
           
    
  
                  
    
3 3
2 2 2 2
4 4 4 4
5 5 7 7
2 2 2 2
4 4 4 4
 
c) 
x arctg k x arctg k
S y arctg k ou y arctg k
z arctg k z arctg k
 
       
 
 
        
 
       
 
 
1 1
2 2
9 9
2 2
4 4
 
d)    S k n , n k
      
      
   
3
4 2 4 2
 
e)  
k k k
S tg ,tg .tg ,k , , , , , , ,
     
      
   
2 4
3 2 10 1 2 3
7 7 7
 
f) 
sen ,cos ; sen ,cos ;
S
sen ,cos ; sen ,cos
       
     
    
  
       
    
    
5 5
8 8 8 8
3 3 7 7
8 8 8 8
 
g) S ;
  
  
  
1 3
2 2
 
h) S ;
  
  
  
1 3
2 2
 
58. tgx = 5 60.  x k ,k   2 1 61.  x k ,k

  2 1
7 
62. x k ,k

   2
4 
63. x k ,k

   2
3
 
64. 
a) k x k

    
2
2 2
3
 b) k x k
 
      
5
4 12
 
c) k x arctg k

      
3
2 2
4 4
 
d) 
k x k ; k x k ;
k x k
  
          

      
5 3
2 2 2 2
4 2 4
2 2
2
 
e) k x k ; k x k
   
           
3 17 7
2 2 2 2
12 4 12 4
 
f) 
k x k ; k x k ; k x k
     
                  
3 5 5
2 2 2 2 2 2
4 6 4 4 6 4
 
g) 
k x k ; k x k ;
k x k ; k x k ;
   
           
  
            
3 10 7
10 10 10 10
2 2 3 2
9 20 25
10 5 10 10 10
2 3 3
 
h) k x k ; k x k ;
   
            
8 10
2 2 2 2
3 3 3 3
 
 
65. 
a)  
k
a x arccos a

      
1 1
1 4 3
2 4 2
 ; para os outros valores de 
a, a equação não tem solução. 
b) 
 
 
k
k
 a x arc sen k
a a a
 a ,a x arc sen k
a
     
  
       

2
1
1 1
4
1 5
0 4 1 1
1 
c) 
 
 
 
k n
x
a
k n
y
      

  
    
    

5 1 5 1 2
2 2
2
 
onde    k arcsen a a   21 e    k arcsen a a   21 . 
 
d) 
 
 
 
 
k k
n n
x arcsena k x arcsen a k
a ou
y arcsen a n y arcsena n


 
        
     
         
1
1
1 1 21 1
2 2 1 2 1
 
66. 
a) S ;
  
  
  
2 6 2
2 4
 b) S
 
  
 
3
4
 
c) S ; ;
   
   
  
2 2 2 2 2
2 2 2
 
d) S
  
  
  
10 2 5
4
 e) S ;
  
  
  
2 6 2
2 4
 
f) S ;
  
  
  
5 1
0
2
 g) S cos
 
  
 
2
9