4. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, consideran...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. Primeiro, precisamos encontrar quantos números primos existem menores que 30. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Como queremos decompor um número natural em um produto de quatro fatores primos distintos menores que 30, podemos escolher um desses 10 números primos para ser o primeiro fator, depois um dos 9 restantes para ser o segundo fator, um dos 8 restantes para ser o terceiro fator e um dos 7 restantes para ser o quarto fator. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras de escolher esses quatro fatores é dado por: 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 Portanto, existem 5.040 números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos distintos menores que 30.