(Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. Se a sequência (????, ????, ????, ????) ...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a propriedade de que a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540 graus. Sabemos que os ângulos internos de um pentágono regular são iguais a 108 graus. Como o pentágono da figura não é regular, podemos dividir o pentágono em três triângulos isósceles, como mostra a figura abaixo:  Note que o ângulo ???? é a soma dos ângulos ???? e ????. Podemos calcular o ângulo ???? utilizando a lei dos cossenos no triângulo de lados a, b e c: cos(????) = (b² + c² - a²) / (2bc) cos(????) = (c² + d² - b²) / (2cd) cos(????) = -1 (pois é um ângulo reto) Substituindo os valores, temos: -1 = (b² + c² - a²) / (2bc) -1 = (c² + d² - b²) / (2cd) Multiplicando as duas equações, temos: 1 = [(b² + c² - a²) / (2bc)] * [(c² + d² - b²) / (2cd)] 1 = [(b² + c² - a²) * (c² + d² - b²)] / (4abcd) Multiplicando ambos os lados por 4abcd, temos: 4abcd = (b² + c² - a²) * (c² + d² - b²) Como a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q, podemos escrever: b = a * q c = a * q² d = a * q³ Substituindo na equação acima, temos: 4a⁴q⁶ = (a²q² + a²q⁴ - a²) * (a²q⁴ + a²q² - a²q⁶) 4a⁴q⁶ = a⁴q⁶ + a⁴q⁸ - a⁴q² + a⁴q⁸ + a⁴q² - a⁴q⁶ - a⁴q⁶ - a⁴q⁸ + a⁴q¹² 4q⁶ = q⁶ + q⁸ - q² + q⁸ + q² - q⁶ - q⁶ - q⁸ + q¹² Simplificando, temos: q¹² - 2q⁸ + q⁴ = 0 (q⁴)² - 2q⁴ + 1 = 0 (q⁴ - 1)² = 0 q⁴ = 1 Como q > 1, temos que q = √(q⁴) = 1. Portanto, a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão 1, o que significa que b = c = d = a. Podemos calcular o valor de a utilizando a lei dos cossenos no triângulo de lados a, b e c: cos(????) = (b² + c² - a²) / (2bc) cos(????) = (2a² - a²) / (2a²) cos(????) = 1/2 Como o ângulo ???? é agudo, temos: tan(????) = sen(????) / cos(????) tan(????) = √(1 - cos²(????)) / cos(????) tan(????) = √(1 - 1/4) / 1/2 tan(????) = √3 Portanto, a resposta é a letra E) √q.