Exercício 21 – (FUVEST, 2018) Sejam ???????? e ???????? os maiores subconjuntos de ℝ nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais ????(????) = ...

O exercício 21 da FUVEST 2018 pede para considerar as funções reais f(x) = √(3x+2x²-4x-8)/(x-2) e g(x) = √(3x+2x²-4x-8)/(√x-2), definidas nos maiores subconjuntos de ℝ em que elas estão definidas. O objetivo é determinar as imagens de f e g, denotadas por A e B, respectivamente. Para encontrar as imagens de f e g, é necessário analisar o domínio das funções e verificar quais valores de y são possíveis de serem obtidos. Para f(x), o denominador x-2 não pode ser igual a zero, ou seja, x ≠ 2. Além disso, o radicando da função deve ser maior ou igual a zero, pois não existe raiz quadrada de número negativo. Assim, temos a seguinte inequação: 3x+2x²-4x-8 ≥ 0 Simplificando, obtemos: 2x²-x-4 ≥ 0 Resolvendo a inequação do segundo grau, encontramos as raízes x = -1 e x = 2. Como o coeficiente de x² é positivo, a parábola abre para cima e o sinal da função é positivo entre as raízes. Portanto, o domínio de f(x) é (-∞,-1] ∪ (2,+∞). Para encontrar a imagem de f(x), é necessário encontrar os valores de y que a função pode assumir. Como a função é contínua e crescente no seu domínio, basta verificar os limites no infinito: lim f(x) = ∞ x→-∞ lim f(x) = -∞ x→2- Assim, a imagem de f(x) é (-∞,0] ∪ (2√3,+∞). Para a função g(x), o radicando deve ser maior ou igual a zero e o denominador √x-2 não pode ser igual a zero, ou seja, x ≥ 2. Assim, temos a seguinte inequação: 3x+2x²-4x-8 ≥ 0 Simplificando, obtemos: 2x²-x-4 ≥ 0 Resolvendo a inequação do segundo grau, encontramos as raízes x = -1 e x = 2. Como o coeficiente de x² é positivo, a parábola abre para cima e o sinal da função é positivo entre as raízes. Portanto, o domínio de g(x) é [2,+∞). Para encontrar a imagem de g(x), é necessário encontrar os valores de y que a função pode assumir. Como a função é contínua e crescente no seu domínio, basta verificar os limites no infinito: lim g(x) = ∞ x→+∞ lim g(x) = 0 x→2+ Assim, a imagem de g(x) é (0,+∞). Portanto, as alternativas corretas são: a) A = (-∞,0] ∪ (2√3,+∞) e B = (0,+∞). b) As imagens de f e g diferem em mais de um ponto, pois A contém valores negativos e B não.