Exercício 21 – (FUVEST, 2018) Sejam ???????? e ???????? os maiores subconjuntos de ℝ nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais ????(????) = ...

Para resolver esse exercício, precisamos analisar as funções f(x) e g(x) e seus respectivos domínios. A função f(x) é definida como √(x³+2x²-4x-8)/(x-2), portanto, o denominador não pode ser igual a zero, ou seja, x ≠ 2. Além disso, o radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja, x³+2x²-4x-8 ≥ 0. Podemos fatorar essa expressão como (x-2)(x²+4x+2) ≥ 0 e, a partir daí, encontrar os valores de x que satisfazem essa desigualdade. Temos, então, que x ≤ -2-2√3 ou x ≥ -2+2√3. Portanto, o domínio de f(x) é Df = (-∞,-2-2√3] ∪ [-2+2√3,2) ∪ (2,+∞). Já a função g(x) é definida como √(x³+2x²-4x-8)/(√x-2), portanto, o radicando não pode ser negativo, ou seja, x³+2x²-4x-8 ≥ 0. Podemos fatorar essa expressão como (x-2)(x²+4x+2) ≥ 0 e, a partir daí, encontrar os valores de x que satisfazem essa desigualdade. Temos, então, que x ≤ -2-2√3 ou x ≥ -2+2√3. Além disso, o radicando do denominador não pode ser igual a zero, ou seja, x ≠ 2. Portanto, o domínio de g(x) é Dg = (-∞,-2-2√3] ∪ [-2+2√3,2) ∪ (2,+∞). Agora, precisamos encontrar as imagens de f(x) e g(x). Para isso, podemos analisar o comportamento das funções nos limites do domínio. Temos que lim f(x) = +∞ quando x → -2-2√3 ou x → +∞ e lim f(x) = -∞ quando x → -2+2√3 ou x → 2-. Portanto, a imagem de f(x) é R. Já para g(x), temos que lim g(x) = +∞ quando x → -2-2√3 ou x → +∞ e lim g(x) = 0 quando x → 2+. Portanto, a imagem de g(x) é [0,+∞). Com isso, podemos concluir que as alternativas corretas são: a) falso, pois as imagens de f(x) e g(x) são diferentes; b) falso, pois as imagens de f(x) e g(x) diferem em mais de um ponto; c) falso, pois as imagens de f(x) e g(x) diferem em mais de um ponto; d) verdadeiro, pois as imagens de f(x) e g(x) diferem em mais de um ponto e em apenas um ponto, respectivamente; e) falso, pois as imagens de f(x) e g(x) são diferentes. Portanto, a alternativa correta é a letra d).