Em um problema geométrico, pode-se encontrar a área de um paralelogramo multiplicando sua base pela respectiva altura. No entanto, se esses valores não são conhecidos, mas tem-se os vetores que definem este paralelogramo, então é possível fazer uso do produto vetorial. Nesse contexto, encontre a área do paralelogramo determinado pelos vetores.

u
⃗

=

[

1

1

2

]

e

v
⃗

=

[

0

2

−
4

]

Question

Em um problema geométrico, pode-se encontrar a área de um paralelogramo multiplicando sua base pela respectiva altura. No entanto, se esses valores...

Ed · Answer

Para encontrar a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, você pode usar o produto vetorial. A área $A$ do paralelogramo é dada pela magnitude do produto vetorial dos dois vetores.

Os vetores são:
$$
\vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \ -4 \end{bmatrix}
$$

O produto vetorial $\vec{u} \times \vec{v}$ é calculado da seguinte forma:

$$
\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
1 & 1 & 2 \
0 & 2 & -4
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante, temos:

$$
\vec{u} \times \vec{v} = \hat{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & -4 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 0 & -4 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{vmatrix}
$$

Calculando cada um dos determinantes:

1. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 2 & -4 \end{vmatrix} = (1 \cdot -4) - (2 \cdot 2) = -4 - 4 = -8$
2. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 0 & -4 \end{vmatrix} = (1 \cdot -4) - (2 \cdot 0) = -4$
3. $\begin{vmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (1 \cdot 0) = 2$

Substituindo os valores:

$$
\vec{u} \times \vec{v} = -8\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}
$$

Agora, a magnitude do produto vetorial é:

$$
|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 16 + 4} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}
$$

Portanto, a área do paralelogramo é:

$$
A = |\vec{u} \times \vec{v}| = 2\sqrt{21}
$$

Assim, a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é $2\sqrt{21}$.

Ed · Answer

Para encontrar a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, é necessário calcular o módulo do produto vetorial entre eles.

O produto vetorial entre u e v é dado por:

u x v = |u| |v| senθ n

Onde |u| e |v| são os módulos dos vetores u e v, θ é o ângulo entre eles e n é o vetor normal ao plano determinado por u e v.

Para calcular a área do paralelogramo, basta calcular o módulo do produto vetorial:

A = |u x v|

Substituindo os valores dos vetores u e v, temos:

u x v = 
  | i    j    k |
  | 1    1    2 |
  | 0    2   -4 |

u x v = 
  i(1*(-4) - 2*1) - j(1*0 - 2*2) + k(1*2 - 1*0)

u x v = 
  i(-6) - j(-4) + k(2)

u x v =

|u x v| = √((-6)² + 4² + 2²) = √56

Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é √56.

Matemática

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