Um objeto percorre uma curva definida pela função →F (u)=⎧⎨⎩x=1+u2y=u3+3, u≥ 0z=u2+5�→ (�)={�=1+�2�=�3+3, �≥ 0�=�2+5 . Assinale a alternativa que ...

Para encontrar a componente normal da aceleração no ponto (2,4,6), precisamos calcular a derivada segunda da função →F (u) em relação ao comprimento de arco s, que é dada por: →T(s) = →F'(s) / ||→F'(s)|| onde →T(s) é o vetor tangente unitário e ||→F'(s)|| é o módulo do vetor tangente. A componente normal da aceleração é dada por: aN = ||→aN|| = ||→a|| * sen(θ) onde θ é o ângulo entre →a e →T. Calculando a derivada segunda de →F (u), temos: →F''(u) = (2, 6u, 2u) Calculando o vetor tangente em (2,4,6), temos: →T = →F'(u) / ||→F'(u)|| = (4, 12, 4) / 4√10 Calculando a aceleração em (2,4,6), temos: →a = →F''(u) / ||→F'(u)|| - (→F'(u) . →T) * →T Substituindo os valores, temos: →a = (2, 6u, 2u) / 2√10 - (4, 12, 4) / 4 - (4, 12, 4) / 4 = (u√10 - 1, 3u√10 - 3, u√10 - 1) Calculando o módulo da aceleração, temos: ||→a|| = √[(u√10 - 1)² + (3u√10 - 3)² + (u√10 - 1)²] = √(10u² - 20u + 11) Calculando o ângulo entre →a e →T, temos: cos(θ) = (→a . →T) / (||→a|| * ||→T||) = (2u√10 - 10) / (2√(10u² - 20u + 11)) sen(θ) = √(1 - cos²(θ)) Substituindo os valores em cada alternativa, a única que apresenta o valor correto da componente normal da aceleração é: 3√17 1731717