Determine e classifique os extremos da função: z = x3 + y3 - 3 x y O O O A Sela em P ( 0; 0; 0) e máximo em P ( 1; 1;-1) B Sela em P ( 1; 1; -1) e ...

A função z = x³ + y³ - 3xy possui dois pontos críticos, que são aqueles em que as derivadas parciais se anulam. São eles: fx = 3x² - 3y = 0 fy = 3y² - 3x = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos os pontos críticos: P1 = (0, 0) P2 = (1, 1) Para classificar os extremos, é necessário calcular a matriz hessiana da função: H = [6x -3; -3 6y] Avaliando a hessiana nos pontos críticos, temos: H(P1) = [-3 -3; -3 -3] H(P2) = [3 -3; -3 3] No ponto P1, a hessiana possui autovalores negativos, o que indica que se trata de um ponto de sela. Portanto, a alternativa correta é a letra A. No ponto P2, a hessiana possui autovalores positivos, o que indica que se trata de um ponto de máximo. Portanto, a alternativa B está incorreta.