Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax 3a= + e g(x) 9 2x,= − definidas para todo número real x. a) Encontre o núme...

a) Para que a inequação f(x)g(x) > 0 seja verdadeira, é necessário que f(x) e g(x) tenham o mesmo sinal. Como f(x) é uma função afim com coeficiente a positivo, ela é crescente. Já g(x) é uma função afim com coeficiente -2/9, ou seja, decrescente. Portanto, f(x) e g(x) têm sinais opostos para x < 0 e sinais iguais para x > 0. Logo, a inequação f(x)g(x) > 0 tem soluções inteiras apenas para x > 0 ou x < 0, ou seja, duas soluções inteiras. b) Para que f(g(x)) = g(f(x)) para todo x real, é necessário que f(g(x)) = f(9-2x) = a(3a-2(9-2x)) seja igual a g(f(x)) = g(ax+3a) = 9-2(ax+3a). Igualando essas expressões, temos: a(3a-2(9-2x)) = 9-2(ax+3a) 3a^2 - 18a + 4ax + 18 = 0 a^2 - 6a + 2ax + 6 = 0 Para que essa equação seja verdadeira para todo x real, é necessário que o coeficiente de x seja zero, ou seja, 2a = 0. Portanto, a = 0. Substituindo esse valor na equação, temos: a^2 - 6a + 6 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: a = 3 + √3 ou a = 3 - √3 Portanto, os valores de a que satisfazem a condição são a = 3 + √3 e a = 3 - √3.