QUESTÃO 178 Resposta A Habilidade: H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. A) CORRETA. Os pontos F1 e F2, onde as ta...

QUESTÃO 178 Resposta A
Habilidade: H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
A) CORRETA. Os pontos F1 e F2, onde as tachinhas são fixados no papel e as pontas do barbante são amarradas, repre-sentam os focos da elipse. A relação que define essa figura geométrica é
PF1 1 PF2 5 2a (Eq. 1)
Ou seja, a elipse é formada pelo conjunto de todos os pontos P cujas distâncias até F1 e F2 somadas resultam em uma constante igual a 2a. Embora apenas um ponto P seja mostrado na figura do problema, todos os pontos pertencentes à elipse são referidos por P na definição da (Eq. 1).
Uma vez que as distâncias PF1 e PF2 são conhecidas para um ponto P sobre a elipse (dados da figura ilustrativa do problema), então
a 5 PF1 1 PF2
2
a 5 6,5 cm 1 3,5 cm
2
5 10,0 cm
2
a 5 5,0 cm
2a 5 10,0 cm
A figura a seguir mostra o barbante esticado com a caneta até o ponto extremo mais alto da elipse (P 5 B1). Nela são os ilustrados os comprimentos relevantes, sendo 2a o comprimento do eixo maior, correspondente ao eixo horizontal passando pelo ponto central C da elipse; já o eixo menor, que corresponde ao eixo vertical (também passando pelo ponto C), tem comprimento 2b. Repare também que 2c é a distância focal F1F2 5 8,0 cm; logo, 2c 5 8,0 cm ⇒ c 5 4,0 cm.
Notando que o triângulo B1CF2 é retângulo (do mesmo modo que o triângulo B1CF1), pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
a2 5 b2 1 c2
b 5 √a2 2 c2
b 5 √(5,0 cm)2 2 (4,0 cm)2
b 5 3,0 cm
2b 5 6,0 cm
Portanto, a área do retângulo ABCD circunscrito à elipse e tocando-a nos seus pontos extremos (A1, A2, B1 e B2) é:
AABCD 5 Eixo maior ? Eixo menor 5 2a ? 2b
AABCD 5 10,0 cm ? 6,0 cm
AABCD 5 60,0 cm2
B) INCORRETA. O aluno que assinala esta alternativa pode ter incorrido no erro de apenas multiplicar a distância do ponto P ao ponto F1 pela distância focal (entre os pontos F1 e F2) para obter a área do retângulo ABCD (que circunscreve a elipse e toca-a em seus pontos extremos). Dessa forma, essa área seria:
A
D
Barbante
P 5 B1
Tachinha
F1
Tachinha
Caneta
F2
B
C
aa b
C
A2A1 eixo menor 5 2b
B2
eixo maior 5 2a
c c

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AABCD 5 PF1 ? F1F2 5 6,5 cm ? 8,0 cm
AABCD 5 52,0 cm
C) INCORRETA. O aluno que assinala esta alternativa pode ter considerado, equivocadamente, que o comprimento do eixo menor da elipse é 2b 5 4,0 cm (em vez de 2b 5 6,0 cm, que é o valor correto), embora tenha levado em conta o comprimento correto do eixo maior (2a 5 10,0 cm). Dessa forma, a área do retângulo ABCD (circunscrito à elipse e tangenciando-a nos seus pontos extremos) seria:
AABCD 5 2a ? 2b 5 4,0 cm ? 10,0 cm
AABCD 5 40,0 cm2
D) INCORRETA. O aluno que assinala esta alternativa pode ter cometido o erro de apenas multiplicar a