19: a) A função ????: ℝ → ℝ, definida por ????(????) = ???? + 1, é estritamente crescente. b) Como ????(????) = [????(????) − ????(????)](???? − ????) = 0, queremos mos...

a) Para mostrar que a função f(x) = x + 1 é estritamente crescente, precisamos mostrar que se x1 < x2, então f(x1) < f(x2). Temos: f(x1) = x1 + 1 f(x2) = x2 + 1 Se x1 < x2, então x2 - x1 > 0. Adicionando 1 em ambos os lados, temos: x2 - x1 + 1 > 1 O que implica em: x2 + 1 > x1 + 1 Logo, f(x2) > f(x1), o que mostra que f(x) = x + 1 é estritamente crescente. b) Temos que f(x) = [g(x) - h(x)](x - a) = 0. Isso implica que g(x) - h(x) = 0 ou x - a = 0. Se g(x) - h(x) = 0, então f(x) = 0 para todo x. Caso contrário, temos que x ≠ a e g(x) ≠ h(x). Como g(x) e h(x) são funções contínuas, elas não podem mudar de sinal sem passar por zero. Portanto, se g(x) - h(x) > 0 para algum x ≠ a, então f(x) > 0 para todo x ≠ a. O mesmo vale se g(x) - h(x) < 0. Logo, para mostrar que f(x) > 0 para todo x ≠ a, basta mostrar que g(x) - h(x) ≠ 0 para todo x ≠ a.