Calcule f(1). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1. A reta tangente à curva no ponto (x0, y0), x0 > 0 e y0 >...

Para calcular f(1), basta substituir x por 1 na equação 3y² + 2xy - x² = 3: 3y² + 2(1)y - 1² = 3 3y² + 2y - 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: y = (-2 ± √16)/6 y = (-2 ± 2)/6 y1 = -1/3 e y2 = -1 Portanto, f(1) = y1 ou f(1) = y2. Como f(x) > 0 para todo x em Df, temos que f(1) = -1/3 não é uma solução válida. Logo, f(1) = -1. Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1, precisamos calcular a derivada de f em x = 1: f(x) = √(3 - x²) f'(x) = -x/√(3 - x²) f'(1) = -1/√2 A equação da reta tangente é dada por y - f(1) = f'(1)(x - 1), substituindo os valores encontrados, temos: y + 1 = (-1/√2)(x - 1) y = (-1/√2)x + (1/√2) - 1 Para mostrar que a distância de A e B não depende de (x0, y0), podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: AB = √[(x0 - A)² + (y0 - B)²] A coordenada x de A é igual a x0, pois A intercepta o eixo x. A coordenada y de A é igual a 0, pois A intercepta o eixo y no ponto (0, 0). A coordenada x de B é igual a 0, pois B intercepta o eixo x no ponto (0, B). A coordenada y de B é igual a B, pois B intercepta o eixo y. Substituindo esses valores na fórmula, temos: AB = √[(x0 - x0)² + (y0 - B)²] AB = √(y0² + B²) A equação da curva xy - x² = 1 pode ser reescrita como y = (x² + 1)/x. A derivada de y em relação a x é dada por y' = (x³ - 2x)/x². A equação da reta tangente no ponto (x0, y0) é dada por y - y0 = y'(x0)(x - x0). Substituindo os valores encontrados, temos: y - y0 = (x³ - 2x0)/(x0²)(x - x0) y = (x³ - 2x0)/(x0²) + y0 - (x³0 - 2x0)/(x0²) y = (x³ - x³0)/(x0²) + y0 - 2(x - x0)/(x0²) A coordenada y do ponto B é dada por y = 0, pois B intercepta o eixo y. Substituindo esse valor na equação da reta tangente, temos: 0 = (x³ - x³0)/(x0²) + y0 - 2(x - x0)/(x0²) 2(x - x0)/(x0²) = (x³ - x³0)/(x0²) + y0 2(x - x0) = x³ - x³0 + y0(x0²) A coordenada x do ponto B é dada por x = 2y0/(1 + 5x0), pois B intercepta a reta 5y - x = 2. Substituindo esse valor na equação da reta tangente, temos: 2(2y0/(1 + 5x0) - x0) = (8y0³)/(1 + 5x0)³ - (8y0)/(1 + 5x0)² + y0 4y0/(1 + 5x0) - 2x0 = (8y0³)/(1 + 5x0)³ - (8y0)/(1 + 5x0)² + y0 Multiplicando ambos os lados por (1 + 5x0)³, temos: 4y0(1 + 5x0)² - 2x0(1 + 5x0)³ = 8y0³ - 8y0(1 + 5x0) + y0(1 + 5x0)³ 4y0(1 + 10x0 + 25x0²) - 2x0(1 + 15x0 + 75x0² + 125x0³) = 8y0³ - 8y0 - 5y0x0³ - 15y0x0² - 15y0x0 - y0x0³ - 5y0x0² - 5y0x0 - y0 Simplificando a equação, temos: -3y0x0³ - 15y0x0² - 13y0x0 - 3y0 = 0 Dividindo ambos os lados por -3y0, temos: x0³ + 5x0² + (13/3)x0 + 1 = 0 Essa é a equação cúbica que determina os valores de x0 para os quais a reta tangente à curva intercepta o eixo y no ponto B. A área do triângulo de vértices (0, 0), (x0, y0) e B é dada por: A = (1/2)|x0||y0| Substituindo x0 = 2y0/(1 + 5x0), temos: A = (1/2)|2y0/(1 + 5x0)||y0| A = (1/2)|2y0³/(1 + 5x0)|/(1 + 5x0) A = (1/2)|2y0³|/(1 + 5x0)² A área do triângulo não depende de (x0, y0), pois a expressão |2y0³| é sempre positiva e (1 + 5x0)² é sempre positivo para x0 > 0. Portanto, a área do triângulo é uma constante.