Seja f (x) = x + ex e seja g a inversa de f. Mostre que g é derivável e que (Sugestão: Veja Exercício 13-8.1.) Seja f (x) = x + ex e seja g a funçã...

Para mostrar que g é derivável, precisamos mostrar que g é contínua e que sua derivada existe. Primeiro, observe que f é uma função crescente e, portanto, injetora. Além disso, f é contínua e diferenciável em toda parte. Portanto, pelo teorema da função inversa, f tem uma inversa g que é contínua e diferenciável em toda parte. Para mostrar que g é contínua, observe que f é crescente e, portanto, injetora. Isso implica que f é estritamente crescente em todo o seu domínio. Portanto, f é uma bijeção do seu domínio para sua imagem. Como f é contínua em todo o seu domínio, sua imagem é um intervalo. Portanto, g é contínua em todo o seu domínio. Para mostrar que g é diferenciável, observe que f é diferenciável em todo o seu domínio e que f′(x) = 1 + ex > 0 para todo x. Portanto, f é estritamente crescente em todo o seu domínio e, portanto, injetora. Isso implica que f tem uma inversa g que é diferenciável em todo o seu domínio. Além disso, podemos calcular g′(1) e g″(1) usando a fórmula da derivada da função inversa: g′(1) = 1/f′(g(1)) = 1/(1 + e) g″(1) = -f′′(g(1))/(f′(g(1)))^2 = -e/(1 + e)^3 Para a função f(x) = x + ln(x), x > 0, podemos mostrar que f é crescente e, portanto, injetora. Além disso, f é contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Portanto, pelo teorema da função inversa, f tem uma inversa g que é contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Podemos calcular g(1), g′(1) e g″(1) usando a fórmula da função inversa e a regra da cadeia: g(1) = 1/e g′(1) = 1/(1 + 1/e) = e/(e + 1)^2 g″(1) = -2e/(e + 1)^3 Para a função f(x) = x + x^3, podemos mostrar que f é uma bijeção do seu domínio para sua imagem. Portanto, f tem uma inversa g que é contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Podemos expressar g′(x) em termos de g(x) usando a regra da cadeia: g′(x) = 1/f′(g(x)) = 1/(1 + 3g(x)^2) Podemos calcular g′(0) substituindo x = 0 na fórmula acima: g′(0) = 1/f′(g(0)) = 1/(1 + 0) = 1 Para a função f(x) = cos(x), 0 ≤ x ≤ π, podemos mostrar que f é uma bijeção do seu domínio para sua imagem. Portanto, f tem uma inversa g que é contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Podemos calcular arc cos′(x) usando a regra da cadeia: (arc cos(x))′ = -1/√(1 - x^2) Podemos esboçar o gráfico de g observando que g é uma função crescente que mapeia o intervalo [-1, 1] para o intervalo [0, π]. Para a função f(x) = sec(x), podemos mostrar que f é uma bijeção do seu domínio para sua imagem. Portanto, f tem uma inversa g que é contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Podemos calcular arc sec′(x) usando a regra da cadeia: (arc sec(x))′ = 1/(|x|√(x^2 - 1)) Podemos verificar que f(g(x)) = x para todo x ≥ 1 e que g(f(x)) = x para todo x ≥ 0. Portanto, f e g são inversas uma da outra. Podemos esboçar o gráfico de g observando que g é uma função crescente que mapeia o intervalo [1, ∞) para o intervalo [0, π/2].