Utilizando o critério de Lebesgue, prove que se f for integrável em [a, b], então f será contínua em pelo menos um ponto p ∈ [a, b].

Para provar que se f é integrável em [a, b], então f será contínua em pelo menos um ponto p ∈ [a, b], utilizando o critério de Lebesgue, podemos seguir os seguintes passos: 1. Suponha que f não é contínua em nenhum ponto de [a, b]. 2. Então, para cada ponto p ∈ [a, b], existe um ε > 0 tal que |f(x) - f(p)| ≥ ε para todo x ∈ [a, b]. 3. Considere o conjunto E de todos os pontos p em [a, b] para os quais |f(x) - f(p)| ≥ ε para algum ε > 0. 4. Como f não é contínua em nenhum ponto de [a, b], temos que E é um conjunto denso em [a, b]. 5. Pelo critério de Lebesgue, se f é integrável em [a, b], então f é finita quase em todo lugar em [a, b]. 6. Portanto, existe um conjunto A ⊆ [a, b] com medida zero tal que f é finita em [a, b] \ A. 7. Como E é denso em [a, b], temos que [a, b] \ E é um conjunto aberto e denso em [a, b]. 8. Então, [a, b] \ E contém um intervalo aberto (c, d) ⊆ [a, b]. 9. Como f é finita em (c, d), temos que f é integrável em (c, d). 10. Mas então, pelo teorema fundamental do cálculo, f é contínua em algum ponto de (c, d), o que contradiz a suposição de que f não é contínua em nenhum ponto de [a, b]. 11. Portanto, concluímos que se f é integrável em [a, b], então f será contínua em pelo menos um ponto p ∈ [a, b].