Sejam a > 0, a ≠ 1, e β > 0 dois reais quaisquer. Então existe um único γ real tal que a) aγ = β. b) Demonstração c) Suponhamos, primeiro, a > 1. ...
Sejam a > 0, a ≠ 1, e β > 0 dois reais quaisquer. Então existe um único γ real tal que
a) aγ = β.
b) Demonstração
c) Suponhamos, primeiro, a > 1. Como segue que existem reais u e v, com u < v, tais que
d) au < β < av.
e) Como f (x) = ax é contínua no intervalo fechado [u, v], segue do teorema do valor intermediário que existe γ em [u, v] tal que
f) f(γ) = β ou aγ = β.
g) A unicidade de γ segue do fato de f ser estritamente crescente.
h) O caso 0 < a < 1 deixamos a seu cargo.
a) aγ = β.
b) Demonstração
c) Suponhamos, primeiro, a > 1. Como segue que existem reais u e v, com u < v, tais que
d) au < β < av.
e) Como f (x) = ax é contínua no intervalo fechado [u, v], segue do teorema do valor intermediário que existe γ em [u, v] tal que
f) f(γ) = β ou aγ = β.
g) A unicidade de γ segue do fato de f ser estritamente crescente.
h) O caso 0 < a < 1 deixamos a seu cargo.
💡 1 Resposta
Ed 
A demonstração apresentada mostra que, para quaisquer valores positivos de a e β, existe um único valor real γ tal que aγ = β. A prova é feita por meio do teorema do valor intermediário, que garante a existência de um valor γ em um intervalo [u, v] tal que f(γ) = β, onde f(x) = ax. A unicidade de γ é garantida pelo fato de que f é estritamente crescente. Para o caso em que 0 < a < 1, a prova é deixada como exercício para o leitor.
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