Seja f : ℝ → ℝ derivável até a 2.ª ordem e tal que, para todo x, f″ (x) + f (x) = 0. Prove que existe uma constante A tal que para todo x em ]0, π[...

Dado que f″(x) + f(x) = 0, podemos escrever a equação diferencial homogênea de segunda ordem: r² + 1 = 0 A solução geral dessa equação é: r = ±i Portanto, a solução geral da equação diferencial é: f(x) = c1*cos(x) + c2*sin(x) Para encontrar as constantes c1 e c2, podemos usar as condições iniciais: f(0) = c1*cos(0) + c2*sin(0) = c1 f'(0) = -c1*sin(0) + c2*cos(0) = c2 Assim, temos: c1 = f(0) c2 = f'(0) Portanto, para todo x em ]0, π[, temos: f(x) = A*cos(x) + B*sin(x) Onde A = f(0) e B = f'(0). Para concluir que existe outra constante B tal que, para todo x em ]0, π[, f(x) = A*cos(x) + B*sin(x), basta observar que podemos escrever: f(x) = A*cos(x) + B*sin(x) = C*cos(x + φ) Onde C = sqrt(A² + B²) e φ = arctan(B/A). Assim, podemos reescrever a equação como: f(x) = C*cos(x + φ) = A*cos(x) + B*sin(x) O que implica em: A = C*cos(φ) B = C*sin(φ) Portanto, podemos escolher B = 0 e A = C*cos(φ) para obter a outra forma da equação.