Exercícios 10.1 Seja f : ℝ → ℝ, derivável e tal que para todo x, f′(x) = α f (x), α constante não nula. Prove que existe uma constante k, tal que, ...

Para provar que existe uma constante k tal que para todo x, f(x) = ke^(αx), podemos usar o fato de que f'(x) = αf(x) e resolver a equação diferencial separável. Temos: f'(x) = αf(x) f'(x)/f(x) = α ln|f(x)| = αx + C f(x) = ke^(αx), onde k = ±e^C Para determinar y = f(x), x ∈ ℝ, tal que f′(x) = 2f(x) e f(0) = 1, podemos usar a solução anterior e substituir na equação f'(x) = 2f(x). Temos: f'(x) = 2f(x) kαe^(αx) = 2ke^(αx) α = 2 k = 1/e^C f(x) = e^(2x) Portanto, y = f(x) = e^(2x). Para determinar a posição da partícula no instante t, podemos usar a solução anterior e substituir α por 1/2, já que a velocidade é o dobro da posição. Temos: f'(x) = (1/2)f(x) k(1/2)e^(1/2x) = 2ke^(x) k = 2/e^(1/2x) f(x) = 2e^(3/2x) Portanto, a posição da partícula no instante t é x(t) = 2e^(3/2t). Para esboçar o gráfico de f(x) = ke^(-2x), podemos notar que a função é decrescente e tende a zero quando x tende ao infinito. Além disso, f(0) = k. Portanto, o gráfico é uma exponencial decrescente com intercepto no eixo y igual a k. Para provar que g(x) = f'(x)sen(x) - f(x)cos(x) é constante, podemos derivar g(x) e usar a equação diferencial dada. Temos: g'(x) = f''(x)sen(x) + f'(x)cos(x) - f'(x)cos(x) + f(x)sen(x) g'(x) = f''(x)sen(x) + f(x)sen(x) g'(x) = -f(x)cos(x) + f(x)sen(x) g'(x) = f(x)(sen(x) - cos(x)) g'(x) = -g(x) Portanto, g(x) é constante.