Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica. x = 2t + 1 e y = t − 1, 1 ≤ t ≤ 2. x = 1 − cos t e y = t − sen t, 0 ≤ t ≤ π. x = et cos t...

Para calcular o comprimento da curva dada em forma paramétrica, podemos utilizar a fórmula: L = ∫a^b √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt Para a primeira curva, temos: x = 2t + 1 y = t - 1 1 ≤ t ≤ 2 dx/dt = 2 dy/dt = 1 Substituindo na fórmula, temos: L = ∫1^2 √(2)^2 + (1)^2 dt L = ∫1^2 √5 dt L = √5 ∫1^2 dt L = √5 (2 - 1) L = √5 Para a segunda curva, temos: x = 1 - cos(t) y = t - sen(t) 0 ≤ t ≤ π dx/dt = sen(t) dy/dt = 1 - cos(t) Substituindo na fórmula, temos: L = ∫0^π √(sen(t))^2 + (1 - cos(t))^2 dt L = ∫0^π √2 - 2cos(t) dt L = √2 ∫0^π √1 - cos(t) dt L = √2 ∫0^π √2sin^2(t/2) dt L = 2√2 ∫0^π/2 sin(t/2) dt L = 4√2 Para a terceira curva, temos: x = e^t cos(t) y = e^t sen(t) 0 ≤ t ≤ π dx/dt = e^t (cos(t) - sen(t)) dy/dt = e^t (sen(t) + cos(t)) Substituindo na fórmula, temos: L = ∫0^π √(e^t (cos(t) - sen(t)))^2 + (e^t (sen(t) + cos(t)))^2 dt L = ∫0^π e^t √2 dt L = √2 ∫0^π e^t dt L = √2 (e^π - 1) Para determinar a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T, em que T é o instante em que a partícula volta a tocar o eixo x, precisamos encontrar a equação da trajetória descrita pela partícula. Para isso, podemos integrar as equações paramétricas: x = ∫0^T v(t) cos(θ(t)) dt y = ∫0^T v(t) sen(θ(t)) dt Onde v(t) é a velocidade da partícula e θ(t) é o ângulo que a velocidade forma com o eixo x. Como a partícula volta a tocar o eixo x em T, temos que θ(T) = 0. Além disso, como a partícula começa na posição (0, 0), temos que x(0) = y(0) = 0. Podemos encontrar v(t) a partir da equação da velocidade: v(t) = √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 E podemos encontrar θ(t) a partir da equação da tangente: θ(t) = arctan(dy/dx) Substituindo as equações acima na equação da trajetória, temos: x = ∫0^T √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 cos(arctan(dy/dx)) dt y = ∫0^T √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 sen(arctan(dy/dx)) dt Podemos simplificar a equação da tangente para: θ(t) = arctan(dy/dx) = arctan(y'(t)/x'(t)) Onde y'(t) e x'(t) são as derivadas de y(t) e x(t), respectivamente. Substituindo as derivadas, temos: θ(t) = arctan((e^t sen(t) + e^t cos(t))/(e^t cos(t) - e^t sen(t))) Podemos simplificar a equação acima para: θ(t) = arctan(tan(t + π/4)) Substituindo as equações acima na equação da trajetória, temos: x = ∫0^T e^t √2 cos(t + π/4) dt y = ∫0^T e^t √2 sen(t + π/4) dt Podemos simplificar as equações acima para: x = √2 ∫0^T e^t (cos(t) + sen(t)) dt y = √2 ∫0^T e^t (sen(t) - cos(t)) dt Integrando as equações acima, temos: x = √2 (e^T cos(T + 1) + e^T sen(T) - 1) y = √2 (e^T sen(T + 1) - e^T cos(T)) A distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T é dada por: D = √(x(T)^2 + y(T)^2) Substituindo as equações acima, temos: D = √2 e^T (2 - 2cos(T + 1) - 2sen(T))