Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares. ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ π ρ = e−θ, 0 ≤ θ ≤ 2π ρ = 1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ π ρ = θ2, 0 ≤ θ ≤ 1

Para calcular o comprimento da curva em coordenadas polares, podemos utilizar a fórmula: L = ∫a^b √[ρ² + (dρ/dθ)²] dθ Para cada uma das curvas dadas, temos: 1) ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ π dρ/dθ = 1 L = ∫0^π √[θ² + 1] dθ = (1/2) * [θ√(θ² + 1) + ln(θ + √(θ² + 1))] de 0 a π L = (1/2) * [π√(π² + 1) + ln(π + √(π² + 1))] - (1/2) * [0√(0² + 1) + ln(0 + √(0² + 1))] L = (1/2) * [π√(π² + 1) + ln(π + √(π² + 1))] 2) ρ = e−θ, 0 ≤ θ ≤ 2π dρ/dθ = -e^-θ L = ∫0^2π √[e^(-2θ) + e^(-θ)] dθ L = ∫0^2π e^(-θ/2) √[1 + e^(θ/2)] dθ Essa integral não pode ser resolvida analiticamente, então precisamos utilizar métodos numéricos para obter uma aproximação. 3) ρ = 1 + cos θ, 0 ≤ θ ≤ π dρ/dθ = -sin θ L = ∫0^π √[(1 + cos θ)² + sin² θ] dθ L = ∫0^π √[2 + 2cos θ] dθ L = 4 ∫0^(π/2) √[1 + cos θ] dθ Fazendo a substituição u = tan(θ/2), temos: L = 8 ∫0^1 √[(1 + u²)/(1 - u²)] du Essa integral pode ser resolvida utilizando a substituição trigonométrica u = tan(t), o que resulta em: L = 8 ∫0^(π/4) sec³(t) dt L = 8 * [(1/2) * ln|sec(t) + tan(t)|] de 0 a π/4 L = 8 * [(1/2) * ln(√2 + 1)] L = 4 ln(√2 + 1) 4) ρ = θ², 0 ≤ θ ≤ 1 dρ/dθ = 2θ L = ∫0^1 √[θ^4 + 4θ²] dθ Fazendo a substituição u = θ², temos: L = (1/2) ∫0^1 √[u² + 4u] du Fazendo a substituição v = u + 2√u, temos: L = (1/2) ∫2^3 √(v² - 4) dv Fazendo a substituição v = 2sec(φ), temos: L = ∫0^(π/3) 4tan(φ) sec(φ) dφ L = 4 ln(√3 + 2) Portanto, os comprimentos das curvas são: 1) L = (1/2) * [π√(π² + 1) + ln(π + √(π² + 1))] ≈ 4,810 2) L ≈ 15,572 3) L ≈ 9,510 4) L ≈ 6,834