Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares. ρ = e^(-θ), 0 ≤ θ ≤ 2π

Para calcular o comprimento da curva dada em coordenadas polares, podemos utilizar a fórmula: L = ∫(a,b) √[ρ² + (dρ/dθ)²] dθ Onde a e b são os limites de integração em relação a θ. Substituindo os valores da curva dada, temos: L = ∫(0,2π) √[e^(-2θ) + (-e^(-θ))²] dθ L = ∫(0,2π) √[e^(-2θ) + e^(-2θ)] dθ L = ∫(0,2π) √[2e^(-2θ)] dθ L = √2 ∫(0,2π) e^(-θ) dθ L = √2 [-e^(-θ)](0,2π) L = √2 (1 - 1/ e^(2π)) Portanto, o comprimento da curva é aproximadamente 2,62 unidades.