A reta r intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Determine a distância entre A e B, sabendo-se que r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1). ...

Para encontrar a distância entre os pontos A e B, precisamos primeiro encontrar as coordenadas de A e B. Sabemos que a reta r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1) e intercepta os eixos coordenados em A e B. Para encontrar as coordenadas de A, podemos observar que a reta r passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo x em A. Portanto, a coordenada y de A é zero. Para encontrar a coordenada x de A, podemos usar a equação da reta r: (y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1) Substituindo os valores, temos: (0 - 2) / (x - 1) = (1 - 2) / (3 - 1) -2 / (x - 1) = -1 / 2 Multiplicando ambos os lados por (x - 1) e resolvendo para x, temos: x = 5/3 Portanto, as coordenadas de A são (5/3, 0). Da mesma forma, podemos encontrar as coordenadas de B observando que a reta r passa pelo ponto (3, 1) e intercepta o eixo y em B. Portanto, a coordenada x de B é zero. Para encontrar a coordenada y de B, podemos usar a equação da reta r: (y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1) Substituindo os valores, temos: (y - 1) / (0 - 3) = (1 - 1) / (3 - 1) (y - 1) / (-3) = 0 y - 1 = 0 y = 1 Portanto, as coordenadas de B são (0, 1). Agora que temos as coordenadas de A e B, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Substituindo os valores, temos: d = sqrt((0 - 5/3)^2 + (1 - 0)^2) d = sqrt(25/9 + 1) d = sqrt(34/9) Portanto, a distância entre A e B é sqrt(34/9), que pode ser simplificada para (2*sqrt(34))/3. A alternativa correta é a letra b).