Teorema 1. Se α e β são números reais, então γ = { a + b | a ∈ α, b ∈ β } também é número real. Demonstração Precisamos provar que γ satisfaz as co...

Teorema 1. Se α e β são números reais, então γ = { a + b | a ∈ α, b ∈ β } também é número real. Demonstração Precisamos provar que γ satisfaz as condições (R1), (R2) e (R3). Como α e β não são vazios, existem a ∈ α, b ∈ β; assim a + b ∈ γ, logo, γ ≠ ϕ. (R2) (R3) Por outro lado, como α ≠ ℚ e β ≠ ℚ, existem racionais s e t, com s ∉ α e t ∉ β; pelo lema da seção anterior, tem-se: ∀ a ∈ α, a < s e ∀ b ∈ β, b < t daí ∀ a ∈ α, ∀ b ∈ β, a + b < s + t. Logo, s + t ∉ γ e, portanto, γ ≠ ℚ. Precisamos provar que, se x ∈ γ e y < x, então y ∈ γ. Para provar que y ∈ γ, precisamos fabricar um s ∈ α e um t ∈ β, de modo que y = s + t. Temos: x ∈ γ ⇔ x = a + b para algum a ∈ α e algum b ∈ β. De y < x segue y < a + b, daí y − a < b; como b ∈ β, segue que y − a ∈ β. Então, y = a + (y − a), com a ∈ α e (y − a) ∈ β. Logo, y ∈ γ. Para provar que γ não tem máximo, precisamos provar que, se x ∈ γ, então existe y ∈ γ com x < y. Temos: x ∈ γ ⇔ x = a + b para algum a ∈ α e algum b ∈ β. Como α e β não têm máximo, existem racionais s ∈ α e t ∈ β com a < s e b < t; daí, a + b < s + t. Tomando-se y = s + t, tem-se x < y, com y ∈ γ. Assim, γ não têm máximo. Como (R1), (R2) e (R3) estão verificadas, segue que γ ∈ ℝ.