Assinale a alternativa que corresponde ao valor de k, onde A subscript k comma 3 end subscript over A subscript k comma 2 end subscript equals 4. ...

Podemos resolver a equação da seguinte maneira: A subscript k,3 end subscript over A subscript k,2 end subscript = 4 Podemos reescrever a equação como: A subscript k,3 end subscript = 4 * A subscript k,2 end subscript Sabemos que a razão entre dois termos consecutivos de uma progressão geométrica é constante. Portanto, podemos escrever: A subscript k,2 end subscript / A subscript k-1,2 end subscript = A subscript k,3 end subscript / A subscript k-1,3 end subscript Substituindo A subscript k,3 end subscript por 4 * A subscript k,2 end subscript, temos: A subscript k,2 end subscript / A subscript k-1,2 end subscript = 4 * A subscript k,2 end subscript / 4 * A subscript k-1,2 end subscript Simplificando, temos: A subscript k,2 end subscript / A subscript k-1,2 end subscript = 4 / 1 Agora podemos usar a fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica: A subscript n end subscript = A subscript 1 end subscript * r^(n-1) Onde A subscript 1 end subscript é o primeiro termo e r é a razão. Podemos escrever: A subscript k,2 end subscript = A subscript 1 end subscript * r^(k-2) A subscript k-1,2 end subscript = A subscript 1 end subscript * r^(k-3) Substituindo na equação anterior, temos: A subscript 1 end subscript * r^(k-2) / A subscript 1 end subscript * r^(k-3) = 4 / 1 Simplificando, temos: r = 4 Agora podemos usar a equação original para encontrar o valor de k: A subscript k,3 end subscript / A subscript k,2 end subscript = 4 Substituindo A subscript k,2 end subscript por A subscript 1 end subscript * r^(k-2), temos: A subscript k,3 end subscript / (A subscript 1 end subscript * r^(k-2)) = 4 Substituindo r por 4, temos: A subscript k,3 end subscript / (A subscript 1 end subscript * 4^(k-2)) = 4 Simplificando, temos: A subscript k,3 end subscript = 16 * A subscript 1 end subscript * 4^(k-2) Sabemos que A subscript k,3 end subscript é um termo da sequência, portanto, é um número inteiro. Além disso, 16 * 4^(k-2) é sempre um número par. Portanto, A subscript 1 end subscript também deve ser par. Agora podemos testar as alternativas: a. 8: 16 * 4^(8-2) = 16 * 4^6 = 16 * 4096 = 65536, que é um número par. Portanto, é possível que A subscript k,3 end subscript / A subscript k,2 end subscript = 4 para k = 8. A resposta é possível. b. 6: 16 * 4^(6-2) = 16 * 256 = 4096, que é um número par. Portanto, é possível que A subscript k,3 end subscript / A subscript k,2 end subscript = 4 para k = 6. A resposta é possível. c. 4: 16 * 4^(4-2) = 16 * 16 = 256, que é um número par. Portanto, é possível que A subscript k,3 end subscript / A subscript k,2 end subscript = 4 para k = 4. A resposta é possível. d. 10: 16 * 4^(10-2) = 16 * 65536 = 1048576, que é um número par. Portanto, é possível que A subscript k,3 end subscript / A subscript k,2 end subscript = 4 para k = 10. A resposta é possível. e. 2: 16 * 4^(2-2) = 16 * 1 = 16, que é um número par. Portanto, é possível que A subscript k,3 end subscript / A subscript k,2 end subscript = 4 para k = 2. A resposta é possível. Portanto, todas as alternativas são possíveis.