63. (Pucpr 2005) Sejam 'x�' e 'x‚' números reais, zeros da equação (2 - k)x£ + 4kx + k + 1 = 0. Se x� > 0 e x‚ < 0, deve-se ter: a) k > 0 b) 0 < k...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua f(x) muda de sinal em um intervalo [a, b], então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo (a, b). No caso da equação dada, temos que x� e x‚ são raízes, ou seja, f(x�) = f(x‚) = 0. Sabemos também que x� > 0 e x‚ < 0. Substituindo x = x� na equação, temos: (2 - k)x�£ + 4kx� + k + 1 = 0 Multiplicando ambos os lados por x‚£, temos: (2 - k)x�£x‚£ + 4kx�x‚£ + kx‚£ + x‚£ = 0 Como x�x‚£ é negativo, podemos dividir ambos os lados por x�x‚£ e inverter o sinal da desigualdade, obtendo: (2 - k) + 4k(x�/x‚) + k(x‚/x�) + (x‚/x�)(1/x�x‚) < 0 Como x�/x‚ é positivo e x‚/x� é negativo, podemos substituir seus valores absolutos e simplificar a expressão: (2 - k) - 4k(x�/x‚) - k(x�/x‚) - (1/x�x‚) < 0 (2 - 5k + k²)x�x‚ < 0 Como x�x‚ é negativo, temos que (2 - 5k + k²) é positivo. Podemos então fatorar essa expressão: (2 - 5k + k²) = (k - 2)(k - 3) Como o produto de dois fatores é negativo se e somente se um dos fatores é negativo e o outro é positivo, temos que: (k - 2)(k - 3) < 0 Isso implica em: -1 < k < 2 Portanto, a alternativa correta é a letra D.